Методы решения конкурсных задач, основанные на свойствах монотонности функции

Функция f(x), определенная на множестве D, называется монотонно возрастающей на этом множестве, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. По-другому это означает, что если Х1, Х2 ∈ D и при этом Х1 f(х2).

1. Если f(x) возрастающая функция, то неравенства a b (было бы f(a) > f(b)). Остается a х2, тогда в силу возрастания (убывания) функции f(x) получим f(х1) > f(х2) (f(х1) g(x2) (g(x) – функция убывающая). Получим f(x1) g(x2) (1). А т. к. f(x1) = g(x1) и f(x2) = g(x2), то выражение (1) противоречит определению корня, следовательно, что уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного корня.

4. Наибольшее и наименьшее значения возрастающей функции, заданной на отрезке, достигаются в концах отрезка (наибольшее – в правом конце, наименьшее – в левом). Чтобы их найти, достаточно вычислить значения функции в этих концах.

Доказательство: Т. к. функция f(x) – возрастает на промежутке [a;b], то для всех х, неравных а, из этого промежутка f(а) f(x). Следовательно f(b) - наибольшее значение функции на заданном отрезке.

5. Если f(x) – функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая), то уравнение f(x) = x (1) и f(f(x)) = x (2) равносильны.

Доказательство: 1) Пусть x0 – решение уравнения (1), значит, что f(x0) = x0. Применяя к обеим частям этого числового равенства функцию f, получим f(f(x0)) = f(x0), а f(x0) = x0, следовательно, (f(x0)) = x0. Значит,x0 является решением уравнения (2).

2) Пусть x0 – решение уравнения (2), значит, что f(f(x0)) = x0. Предположим, что x0 не является корнем уравнения (1), т. е. f(x0) ≠ x0. Без ограничения общности, можно считать, что, f(x0) > x0. Применяя к обеим частям этого неравенства функцию f, получаем f(f(x0)) > f(x0), а поскольку мы допустили, что f(x0) > x0, получим f(f(x0)) > x0, что противоречит условию f(f(x0)) = x0, следовательно f(x0) = x0.

Аналогично можно доказать следующее утверждение: если функция f(x) возрастающая (убывающая) на множестве D, то уравнение f(f(f(x)))) = x равносильно уравнению f(x) = x.

III Конструирование монотонных функций

Способ 1. Если f – возрастающая функция, то для любого числа c функция f + c – тоже возрастающая.

Доказательство: Рассмотрим x1∈ D и x2 ∈ D и пусть x1 0 при любом x, то корень данного уравнения – число положительное, т. е. x > 0. При x > 0 функция g(x) = х2 + 2х + 3 – возрастающая, тогда f(x) = 2x2+2x+3 – возрастающая, следовательно, функция у = х⋅ 2x2+2x+3 – возрастающая, как произведение двух возрастающих положительных функций, а т. к. у = 64 – функция постоянная, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором. х = 1.

4. Решить неравенство: 2x + 3x + 4x 0, перейдем от неравенства (2) к равносильному неравенству (3)

Отметим, что оба сомножителя – логарифма в левой части неравенства (3) являются положительными монотонно возрастающими функциями от х на указанной выше области допустимых значений. Поэтому вся левая часть неравенства (3) монотонно возрастает на области допустимых значений х, причем в точке х=4, как это проверяется непосредственной подстановкой, она превращается в 1. Следовательно в области все х являются решениями неравенства (3). Отсюда следует ответ.

16. Решить уравнение

В обоих логарифмах перейдем к основанию 3 и получим уже следующее уравнение

Умножим обе части полученного уравнения на величину и получим, учитывая положительность этой величины, равносильное исходному уравнению.

Далее введем в рассмотрение вспомогательную функцию и отметим, что последнее полученное уравнение, в свою очередь, может быть переписано в виде

Отметим так же, что на множестве оба сомножителя и , составляющие в произведении функцию , положительны и монотонно возрастают. Поэтому и вся функция на этом промежутке возрастает. Отметим, наконец, что при любом х числа и принадлежат упомянутому множеству , как это усматривается из следующих очевидных неравенств

Можно утверждать, что уравнение (1), а следовательно и исходное уравнение, равносильно следующему уравнению = (2).

Уравнение (2) решим стандартным способом, раскрывая модуль на участках и поочередно.

Пусть сначала. Тогда и поэтому. Уравнение (2) в таком случае принимает вид , после упрощения получаем , откуда

. Отметим, что оба найденные значения принадлежат рассматриваемому участку и поэтому являются искомыми решениями уравнения (2).

Если же , то после раскрытия модуля получаем уравнение , откуда

17. Решить уравнение (1)

Исходное уравнение может быть преобразовано к виду

(2) легко усматривается, что уравнение (2) имеет вид , где

Отметим, что функция является монотонно возрастающей, что усматривается, например, из того, что монотонно возрастающей является функция. Поэтому уравнение (2), а следовательно, и уравнение (1) равносильно уравнению

Уравнение (3) приводится к виду

Отсюда следует ответ.

18. Решить уравнение.

Определим область допустимых значений: х>0. Это уравнение является квадратным относительно. Перенесем все в левую часть уравнения:

Решим это уравнение как квадратное относительно.

, при всех значениях х из ОДЗ.

методом подбора найдем корень , корень у данного уравнения только один, т. к. правая часть – возрастающая функция, а левая – убывающая при х>0.

19. Решить неравенство.

ОДЗ неравенства есть все х из промежутка. Все х из промежутка являются решениями исходного неравенства, так как для каждого такого х имеем, что функция неотрицательна, а функция отрицательна.

Рассмотрим неравенство на промежутке. Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на этом промежутке, а функция непрерывна и строго убывает, то уравнение = имеет единственный корень на этом промежутке. Легко увидеть, что таким корнем является число.

Для каждого х из промежутка (0;1) имеем, что >1, а 1. Поэтому такие х не удовлетворяют данному неравенству.