Распределение ХИ-квадрат. Распределения математической статистики в EXCEL

Рассмотрим Распределение ХИ-квадрат. С помощью функции MS EXCEL ХИ2.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

Распределение ХИ-квадрат ( Х 2 , ХИ2, англ. Chi - squared distribution ) применяется в различных методах математической статистики:

• при построении доверительных интервалов для дисперсии ;
• при проверке гипотез о дисперсии нормального распределения ;
• при проверке гипотез с помощью критерия согласия Пирсона (согласуются ли эмпирические данные с нашим предположением о теоретической функции распределения или нет, англ. Goodness-of-fit)
• при проверке гипотез с помощью критерия независимости хи-квадрат (используется для определения связи между двумя категориальными переменными, англ. Chi-square test of association).

Определение : Если x 1 , x 2 , …, x n независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону N(0;1), то распределение случайной величины Y=x 1 2 + x 2 2 +…+ x n 2 имеет распределение Х 2 с n степенями свободы.

Распределение Х 2 зависит от одного параметра, который называется степенью свободы ( df , degrees of freedom ). Например, при построении доверительных интервалов для оценки дисперсии число степеней свободы равно df=n-1, где n – размер выборки .

Плотность распределения Х 2 выражается формулой:

СОВЕТ : Подробнее о Функции распределения и Плотности вероятности см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Графики функций

Распределение Х 2 имеет несимметричную форму, среднее значение равно n, дисперсия равна 2n.

В файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

Полезное свойство ХИ2-распределения

Пусть x 1 , x 2 , …, x n независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с одинаковыми параметрами μ и σ, а X cр является арифметическим средним этих величин x. Тогда случайная величина y равная

Имеет Х 2 -распределение с n-1 степенью свободы. Используя определение дисперсии выборки вышеуказанное выражение можно переписать следующим образом:

Следовательно, выборочное распределение статистики y, при выборке из нормального распределения , имеет Х 2 -распределение с n-1 степенью свободы.

Это свойство нам потребуется при построении доверительного интервала при оценке дисперсии распределения . Т.к. дисперсия может быть только положительным числом, а Х 2 -распределение используется для его оценки, то y д.б. >0, как и указано в определении.

ХИ2-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Х 2 -распределения имеется специальная функция ХИ2.РАСП() , английское название – CHISQ.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина Х, имеющая ХИ2 - распределение , примет значение меньше или равное х, P . Очевидно, что справедливо равенство =ХИ2.РАСП.ПХ(x;n)+ ХИ2.РАСП(x;n;ИСТИНА)=1 т.к. первое слагаемое вычисляет вероятность P x>, а второе P . Возможности новых функций MS EXCEL 2010 ХИ2.РАСП() и ХИ2.РАСП.ПХ() перекрывают возможности этой функции. Функция ХИ2РАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

ХИ2.РАСП() является единственной функцией, которая возвращает плотность вероятности ХИ2-распределения (третий аргумент должен быть равным ЛОЖЬ). Остальные функции возвращают интегральную функцию распределения , т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из указанного диапазона: P