Непрерывность и точки разрыва функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 22

Пример 1. Показать, что элементарные функции: 1) ; 2) . непрерывны во всей своей области определения. Решение. Найдем область определения функции и затем убедимся, исходя из определения непрерывности, что функция будет непрерывна в этой же области. 1) Областью определения функции является вся числовая ось. Далее, придадим аргументу произвольное приращение и, подставив в данное выражение функции вместо наращенное значение , найдем наращенное значение функции: . Вычитая из этого наращенного значения функции ее первоначальное значение, найдем приращение функции: Пусть теперь . Тогда при любом значении , . Следовательно, согласно определению непрерывности, функция будет непрерывна при любом значении , т. е. во всей своей области определения. 2) Тригонометрическая функция определена на всей числовой оси, за исключением точек . Повторяя указанные выше рассуждения, найдем приращение функции и затем его предел при : . при всех значениях , кроме . Следовательно, область непрерывности и область определения элементарной функции полностью совпадают. Пример 1. Дана функция. Найти ее точки разрыва, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Решение. 1) Функция определена, т. е. может быть вычислена при всех значениях , кроме . Эта функция элементарная, поэтому она непрерывна во всей области своего определения: . Она не определена в точках и , но определена вблизи этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдения 1-го условия непрерывности, данная функция в точках и имеет разрывы. Для определения скачка функции в найденных ее точках разрыва вычислим односторонние пределы этой функции при стремлении аргумента к точкам разрыва слева и справа: а) так как при величина является положительной бесконечно малой, а обратная ей величина является положительной бесконечно большой; , так как при величина является отрицательной бесконечно малой, а обратная ей величина является отрицательной бесконечно большой. Следовательно, в точке функция имеет бесконечный разрыв (рис. 1).

Рис.1

б) , так как при величина есть отрицательная бесконечно малая, а обратная ей величина есть отрицательная бесконечно большая; , так как при величина есть положительная бесконечно малая, а обратная ей величина есть положительная бесконечно большая. Следовательно, и в точке разрыв функции бесконечный. 2) Элементарная функция определена на всей числовой оси (хотя она дробная, но корни знаменателя комплексные). Поэтому она и непрерывна на всей числовой оси, т. е. не имеет точек разрыва. 3) Элементарная функция определена, а следовательно, и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . В точке функция имеет разрыв, поскольку она определена в любой окрестности этой точки, за исключением самой точки. Найдем односторонние пределы функции в этой точке: Следовательно, разрыв функции конечный (рис. 2); при она имеет конечный скачок

Рис.2

4) Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Из этого следует, что в точке функция имеет разрыв. Исследуем эту точку разрыва: так как при всяком значении эта функция равна -1; так как при всяком значении функция имеет конечный разрыв (рис. 3); ее скачок в этой точке разрыва конечный:

Рис.3

5) Логарифмическая функция определена только для положительных значений своего аргумента . Поэтому элементарная функция будет определена и непрерывна для значений , удовлетворяющих неравенству и . Во всех точках отрезка данная функция не определена, однако точками ее разрыва являются только граничные точки и . В этих граничных точках функция не определена, но она определена в сколь угодно близких точках слева от точки и справа от точки . Все остальные внутренние точки отрезка [— 3; 0], в которых функция также не определена, как и в точках и , не являются точками разрыва потому, что вблизи этих внутренних точек функция не определена. Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки. Найдя односторонние пределы функции при стремлении к точкам разрыва изнутри области определения функции , заключаем, что в точках и функция имеет бесконечные разрывы (рис. 4).