Как строить графики квадратичных функций (Парабол)?
Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются "координатными осями", и нужна единица измерения.
У точки в этой системе есть две координаты. M(x, y): M это название точки, x это абсцисса и она измеряется по Ox, а y это ордината и мерится по Oy. Две координаты отображают расстояние от точки до двух осей.
Если мы рассмотрим функцию f: A -> B (где A - область определения, B - область значений функции), тогда точку на графике данной функции можно представить в форме P(x, f(x)).
Пример f:A -> B, f(x) = 3x - 1 If x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) ∈ Gf (где Gf это график данной функции).
Квадратичная функция
Стандартная форма: f(x) = ax 2 + bx + c
Если a > 0 , то минимальным значением f(x) будет $-\frac$ , которое получается, если $x=-\frac$. Графиком будет выпуклая парабола, вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac;-\frac)$.
Если a < 0 , то минимальное значение f(x) будет $-\frac$ , которое получается, если $x=-\frac$. Графиком будет вогнутая парабола, вершина которой это$V(-\frac;-\frac)$.
Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac$ и которая называется "осью симметрии". Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x, то вибираем их симметричными относительно $-\frac$. При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.
|. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0), потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.
Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox, мы должны решить уравнение f(x)=0. Мы получаем уравнение a 2 + bx + c = 0.
Решение уравнения зависит от знака Δ = b 2 - 4ac.
Иммем следующие варианты:
1) Δ < 0, тогда у уравнения нет решений в R (множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox. Форма графика будет:
2) Δ = 0, тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac$ График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика будет:
3) Δ > 0, тогда у уравнения два разных решения.
График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x 1 и Ox. Форма графика будет:
||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y), потому что расстояние от Oy равно 0. Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).
В случае квадратичной функции, f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).
Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции
f: R → R f(x) = ax 2 + bx + c
1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x.
2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac;-\frac)$.
3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac$.
4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox,решая уравнение f(x)=0 и записываем корни x1 и x2 в таблице. Δ > 0 ⇒
Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac$
Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac$. Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для x, но они должны быть симметричны $-\frac$.
5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.
Пример 1 f: R → R f(x) = x 2 - 2x - 3 a = 1, b = -2, c = -3 Δ = b 2 - 4×a×c = (-2) 2 - 4×1×(-3) = 16 $-\frac=\frac=1$ ⇒ V(1; -4)
2. f(0) = -3 Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2. f(2) = -3
График будет иметь вид:
Пример 2 f: R → R f(x) = -x 2 - 2x + 8 a = -1, b = -2, c = 8 Δ = b 2 - 4×a×c = (-2) 2 - 4×(-1)×8 = 36 $-\frac=\frac=-1$ ⇒ V(-1; 9)
2. f(0) = 8 f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)
Пример 3 f: R → R f(x) = x 2 - 4x + 4 a = 1, b = -4, c = 4 Δ = b 2 - 4×a×c = (-4) 2 - 4×1×4 = 0 $-\frac=\frac=2$ ⇒ V(2; 0)
2. f(0) = 4 f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)
Пример 4 f: R → R f(x) = -x 2 + 4x - 5 a = -1, b = 4, c = -5 Δ = b 2 - 4×a×c = 4 2 - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4 $-\frac=\frac=2$ ⇒ V(2; -1)
2. f(0) = -5 f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)
3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ < 0 У этого уравнения нет решений. Мы выбрали симметричные значения вокруг 2
Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.
2. f(0) = -3 f(2) = -3 симметричное 0 значение относительно 1 равно 2)