Лемма 2. Пусть а и b - длины катетов прямоугольного треугольника, r - радиус его вписанной окружности.

1 Средняя линия прямоугольного треугольника и его точки Фейербаха. Лемма 1. Пусть М - середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, I - центр его вписанной окружности радиуса r, АВ = с, ВС = а < АС, К - точка пересечения прямых MI и АС. Тогда АК = cr/(a - 2r). Обозначим через M b и B I проекции точек М и I на катет АС длины b, а длину отрезка M b K - через x (рис.1). Рис. 1. Тогда из подобия прямоугольных треугольников MM b K и IB I K находим MM b /IB I = M b K/B I K (1). Но МM b = 1/2BC = a/2 как средняя линия треугольника АВС, а B I K = M b K - M b B I = M b K - (M b C - B I C) = x - (b/2 - r) = x + r - b/2. Теперь равенство (1) можно переписать в следующем виде a/2r = x/(x + r - b/2), откуда x= a/2(b/2 - r)/(a/2 - r) и АК = AМ b + M b K = b/2 + x = a/2(b/2 - r)/(a/2 - r) + b/2 = (ab/4 - ar/2 +ab/4 - br/2)/(a/2 - r) = (ab/2 - r/2(a + b))/(a/2 - r) = (ab - r(a + b))/(a - 2r) = (2pr - r(a + b))/(a - 2r) = r(2p - a - b)/(a - 2r) = r(a +b + c - a - b)/(a - 2r) = rc/(a - 2r) = cr/(a - 2r). Лемма 2. Пусть а и b - длины катетов прямоугольного треугольника, r - радиус его вписанной окружности.

2 Тогда ar = (a - 2r)(b - r). Запишем очевидное равенство 4pr = 4S, где S = 1/2аb - площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b. Так как в прямоугольном треугольнике r = p - c, то с = p - r и 2(a + b + c)r = 2(a + b + p - r)r = 4S или 2ar + 2br + 2pr - 2r 2 = 4S, 2ar = 4S - 2pr - 2br + 2r 2 = 2S - 2br + 2r 2, ar = ab - 2br + 2r 2 - ar = b(a - 2r) - r(a - 2r) = (a - 2r)(b - r). Лемма 3. Пусть H b - ортоцентр треугольника A b B b C b c вершинами в точках касания вневписанной окружности I b прямоугольного треугольника АВС с продолжением катета ВС, катетом АС и продолжением гипотенузы АВ. Тогда CH b = CB b = b - r, где b = АС, r - радиус вписанной окружности треугольника АВС. Согласно предложению 1 из [1] точка H b лежит на отрезке B b A c, где А с - точка касания вневписанной окружности I c прямоугольного треугольника АВС с продолжением катета ВС (рис.2), но B b A c C = 1/2 ABC = β/2 (см. теорему 1 из [2]), поэтому A c B b C = 90 - B b A c C = 90 - β/2 = α + β - β/2 = α + β/2. Учитывая то, что угол B b H b C - внешний угол треугольника A c H b C, получим, что B b H b C = H b CA c + H b A c C = α + β/2 = A c B b C и СН b = CВ b = CA - AB b = b - r.

3 Рис. 2 Предложение 1. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С опущена высота СН, М а - середина катета ВС, I 2 - центр вписанной окружности треугольника ВСН, H b - ортоцентр треугольника A b B b C b c вершинами в точках касания вневписанной окружности I b прямоугольного треугольника АВС с его стороной и продолжениями сторон. Тогда точки М а, I 2, H b лежат на одной прямой. Треугольник ВСН подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k = ВС/АВ = а/с, поэтому по лемме 1 длина отрезка СР, где Р - точка пересечения прямых M a I 2 и СН (рис.3), равна k AK = (a/c) c r/(a - 2r) = a r/(a - 2r).

4 Рис. 3 Но по лемме 2 ar = (a - 2r)(b - r) и СР = ar/(a - 2r) = (a - 2r)(b - r)/ (a - 2r) = b - r. По лемме 3 CН b = b - r = СР. Равенство CН b = СР означает, что точки Р и H b совпадают, но Р - точка, в которой прямая M a I 2 пересекает прямую СН. Отсюда следует, что точки М а, I 2, H b лежат на одной прямой. Теорема 1. Вписанная окружность I и три вневписанные окружности I a, I b, I c прямоугольного треугольника АВС ( АСВ = 90 ) касаются прямых ВС, СА, АВ соответственно в точках A I, B I, C I ; A a, B a, C a ; A b, B b, C b ; A c, B c, C c ; H I, H a, H b, H c - ортоцентры треугольников A I B I C I, A a B a C a, A b B b C b, A c B c C c соответственно, М а и М b - cередины катетов ВС и АС. Тогда прямые M a H b и M b H a пересекаются в точке Фейербаха F прямоугольного треугольника АВС, а прямые M b H a и M a H b - в точке Фейербаха F c, причем точки Фейербаха F и F c cовпадают с основаниями высот треугольника M a M b H b, проведенных соответственно из вершин M b и M a, а точка Н а - с ортоцентром треугольника M a M b H b.

5 Аналогично, прямые M a H I и M b H c пересекаются в точке Фейербаха F b прямоугольного треугольника АВС, а прямые M b H I и М а Н с - в точке Фейербаха F a, причем точки Фейербаха F a и F b совпадают с основаниями высот треугольника M a M b H c, проведенных из вершин M b и М а, а точка H I - с ортоцентром треугольника M a M b H c. Соединим точки М а и H b отрезком прямой (рис.4). Из предложения 1 следует, что центр I 2 вписанной окружности треугольника ВСН, где Н - основание высоты, опущенной из вершины прямого угла С на гипотенузу АВ, лежит на отрезке M a H b. Рис. 4 Но М а - центр описанной окружности прямоугольного треугольника ВСН, поэтому прямая M a H b проходит через внутреннюю точку Фейербаха F прямоугольного треугольника АВС (см. следствие 3 и задачу 3 из [4]). Итак, точки М а, F, H b лежат на одной прямой. Поскольку M a M b - диаметр окружности Эйлера треугольника АВС, то М а FM b = 90 и M b FH b = M b FM a = = 90.

6 Так как H a H b - диаметр окружности шести точек S c, проходящей через точку F, то H a FH b = 90 = M b FH b. Последнее равенство означает, что точки M b, H a и F лежат на одной прямой. Пусть L - середина СН. Поскольку H b L и M b F - высоты треугольника M a M b H b, пересекающиеся в точке Н а, то прямая М а Н а содержит третью высоту этого треугольника, т.е. М а Н а M b H b. Обозначим через Р точку пересечения прямых М а Н а и H b M b. Тогда M b PM a = H b PH a = 90 и поэтому точка Р лежит одновременно на окружности Эйлера треугольника АВС и на окружности шести точек S c этого треугольника, т.е. совпадает с одной из двух точек их пересечения. По теореме 7 из [3] точки Фейербаха F и F c лежат на окружности S c. Отсюда следует, что точки пересечения окружности S c с окружностью Эйлера треугольника АВС совпадают с точками Фейербаха F и F c. Так как точка F не лежит на прямой M b H b, то это означает, что точка Р совпадает с точкой F c. Таким образом, точки F и F c являются основаниями высот M b F и M a F c треугольника M a M b H b, пересекающихся в точке Н а. Для того, чтобы доказать аналогичные факты для треугольника M a M b H c, достаточно установить, что, например, точки M a, H I, F b лежат на одной прямой, соответствующим образом переформулировав и передоказав леммы 1-3 и предложение 1 для случая вневписанной окружности, после чего нужно воспользоваться тем, что точки Фейербаха F a и F b лежат на окружности шести точек S c прямоугольного треугольника АВС (см. теорему 5 из [3]). Теорема 2. Центр Е окружности Эйлера прямоугольного треугольника АВС, середина L его высоты, опущенной из вершины прямого угла и точки Фейербаха F и F c лежат на одной окружности. Точки Е, L и внешние точки Фейербаха F a и F b также лежат на одной окружности. Окружность Эйлера треугольника M a M b H b проходит через основания L, F, F c его высот (см. теорему 1) и середину Е его основания M a M b (рис.5). Аналогично, основания высот L, F a, F b треугольника M a M b H c и середина Е его основания M a M b лежат на окружности Эйлера треугольника M a M b H c.

7 Рис. 5. Рис. 5 Литература 1. Е.Д. Куланин. Ортоцентрические четверки прямоугольного треугольника. Журнал "Математическое образование", 3, Е.Д. Куланин. Прямоугольный треугольник. Журнал "Математическое образование", 2, Е.Д. Куланин. Прямые Эйлера и точки Фейербаха прямоугольного треугольника. Журнал "Математически форум", 5, Е.Д. Куланин. О некоторых свойствах точек Фейербаха и Тебо. Приложение "Математика" к газете "Первое сентября", 3, 2005.