Объем пирамиды. плоскостями боковой грани и основания пирамиды равен 60º. Вычислите объем

1 Объем пирамиды 1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 3 дм, ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60º. Вычислите объем 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 дм, диагональ ее основания равна 10 2 дм. Вычислите объем 3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8см. Угол между плоскостями боковой грани и основания пирамиды равен 60º. Вычислите объем 4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 3 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания пирамиды равен 60º. Вычислите объем 5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 3 см, ее высота равна 6 3 см. Вычислите объем 6. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 9см, а ее боковое ребро 6см. Вычислите объем 7. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6дм. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45º. Вычислите объем 8. Угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 60º. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 2 3 см. Вычислите объем 9. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2 3 см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45º. Вычислите объем 10. По данной стороне основания, а = 9 и боковому ребру b = 6 найти высоту правильной треугольной пирамиды и ее объем. 11. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4дм. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30º. Вычислите объем 12. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 3 см, оно наклонено к плоскости основания под углом 60º. Вычислите объем 13. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF равна 2а. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, A и D, является равносторонним треугольником. Вычислите объем 14. Основание пирамиды прямоугольник, длины сторон которого равны 8дм и 4 5 дм. Все боковые ребра пирамиды равны 10дм. Вычислите объем 15. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48, высота равна 4. Найти боковую поверхность этой 16. Основание пирамиды прямоугольный треугольник с катетами 12см и 16см. Длины всех боковых ребер равны 10 2 см. Вычислите объем 17. Основание пирамиды прямоугольный треугольник с катетами 9дм и 12дм. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60º. Вычислите объем

2 18. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны 2, 4 и 16дм. Вычислите объем 19. Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды является равносторонним треугольником, площадь которого равна 6 3 см 2. Найдите объем 20. В треугольной пирамиде КАВС АК ВК и ВК СК, а АСК = 30º. Найдите объем пирамиды, если АК = 8см, ВК = 12см и СК = 10см. 21. Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды является прямоугольным треугольником, площадь которого равна 24см 2. Найдите объем 22. В треугольной пирамиде NMKP MК MP и NM MК, а PMN = 60º. Найдите объем пирамиды, если MN = 2 3 см, MК = 12см и PM = 4см. 23. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите объем 24. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5см и прилежащим углом 30º. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем 25. Основанием пирамиды служит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 6см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30º. Найдите объем 26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите объем 27. Длина каждого ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 6см. Вычислите объем 28. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Угол между апофемами смежных боковых граней равен 60º. Вычислите объем 29. Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональное сечение является правильным треугольником со стороной а.

3 Объем призмы 1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 6, 25 и 29см. Площадь полной ее поверхности равна 1560см². Вычислить объем призмы. 2. В прямой треугольной призме стороны основания равны 25, 29 и 36дм. Площадь ее полной поверхности равна 1620дм². Найти объем призмы. 3. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведенного через них, равна Q. Определить объем призмы. 4. Объем правильной треугольной призмы равен 3 3. Радиус окружности, описанной около основания призмы, равен 2 3. Найти высоту призмы В основании призмы лежит равносторонний треугольник, площадь которого равна 9 3. Найти объем призмы, если ее высота в 3 раз больше стороны основания. 6. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 2, а ее диагональ составляет с плоскостью боковой грани угол 30º. Найти объем призмы. 7. В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной Диагональ боковой грани, проходящей через катет, равна 13. Найти объем призмы. 8. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 4 и составляет с боковым ребром угол 30º. Найти объем призмы. 9. Чему равен объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания a и длиной большей диагонали призмы b? 10. Найти объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 34, а диагональ боковой грани равна Чему равен объем правильной треугольной призмы со стороной основания равной a и расстоянием от вершины одного основания до противолежащей стороны другого основания, равным b? 12. В сечении прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной Объем призмы равен 360. Найти длину диагонали той боковой грани, которая проходит через катет. 13. Все ребра прямой треугольной призмы имеют длину 2 3. Найти объем призмы. 14. Объем прямой призмы, основание которой - правильный треугольник, равен 18 3, ее высота равна 8. Найти сторону основания. 15. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы квадрат, площадь которого 144см². Вычислите объем призмы. 16. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 24см. Она образует с прилегающей стороной основания угол, равный 60º. Вычислите объем призмы. 17. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Вычислите объем этой призмы, если площадь ее боковой поверхности равна 192см². 18. Основанием прямой призмы является треугольник со сторонами 5см, 5см и 8см. Меньшая диагональ боковых граней наклонена к основанию под углом 45º. Вычислите объем призмы.

4 19. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а. Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани угол β. Найдите объем призмы. 20. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8см. Боковая поверхность ее равна сумме площадей оснований. Вычислите объем призмы. 21. Расстояние между противоположными ребрами правильной треугольной призмы равно а. Боковое ребро в 3 раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы. 22. Основанием прямой призмы является ромб с углом равным 60º. Большая ее диагональ равна 12см и наклонена к основанию под углом 45º. Вычислите объем призмы. 23. Основанием прямой призмы является треугольник, стороны которого равны 8см, 15см и 17см. Угол между плоскостью, содержащей меньшую сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания, и плоскостью основания равен 60º. Вычислите объем призмы. 24. Расстояние от вершины A1 до ребра ВС прямой призмы ABCA1B1C1 равно 17см. АВ=АС=10см, ВС=12см. Вычислите объем призмы. 25. Стороны основания прямой треугольной призмы равны 10см, 10см и 16см. Диагональ меньшей боковой грани наклонена к плоскости большей боковой грани под углом 30º. Вычислите объем призмы. 26. Основанием призмы является правильный треугольник. Радиус окружности, описанной около него, равен 24см. боковые грани призмы квадраты. Вычислите объем призмы. 27. Основанием призмы является правильный треугольник. Ортогональной проекцией одной из вершин верхнего основания является центр нижнего основания. Боковое ребро призмы равно 6см и наклонено к плоскости основания под углом 60º. Вычислите объем призмы. 28. Боковые ребра треугольной призмы равны 20см, а расстояние между ними 10см, 12см и 18см. Вычислите объем призмы. 29. Два угла основания треугольной призмы равны α и β, радиус окружности, описанной около него, равен R. Боковое ребро призмы наклонено к плоскости основания под углом φ. Вычислите объем призмы. 30. Площадь одной грани треугольной призмы равна S. Плоскость этой грани удалена от противолежащего ей бокового ребра на а. Вычислите объем призмы. 31. Объем четырехугольной призмы равен V. Плоскости диагональных сечений взаимно перпендикулярны, их площади равны S1 и S2. Найдите длину бокового ребра призмы. 32. Площади двух боковых граней треугольной призмы равны S1 и S2. Угол между плоскостями этих граней равен φ. Найдите объем призмы, если ее боковое ребро равно m. 33. Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 8м². Длина бокового ребра равна 5дм. Расстояние между боковыми ребрами пропорциональны числам 16, 25 и 39. Вычислите объем призмы. 34. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона основания равна а, острый угол равен φ. Расстояние между параллельными и неравными ребрами верхнего и нижнего оснований равно b. Вычислите объем призмы.

5 Объем параллелепипеда. 1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 7 и 4см, угол между ними равен 60º. Определить объем параллелепипеда, если площадь его боковой поверхности равна 220см². 2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 15, 50 и 36м. Найти ребро равновеликого ему куба. 3. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8см, угол между ними равен 30º. Площадь полной поверхности равна 188см². Определить объем параллелепипеда. 4. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8см, угол между ними равен 30º. Площадь боковой поверхности равна 280см². Вычислить объем этого параллелепипеда. 5. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 18 и 34см, меньшая диагональ основания равна 20см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60º. Вычислите объем этого параллелепипеда. 6. Основание прямого параллелепипеда параллелограмм, стороны которого 9 и 10см, а одна из диагоналей 17см. Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 334см². Определить его объем. 7. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания равны 2 и 3, а диагональ параллелепипеда равна В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной, равной 1. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найти его объем. 9. Основание прямоугольного параллелепипеда квадрат. Найти объем этого параллелепипеда, если высота его равна 6, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45º. 10. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной, равной 2. Найти объем этого параллелепипеда, ели его диагональ образует с плоскостью основания угол 45º. 11. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания равны 6 и 8, а его диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45º. 12. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 и 6, они образуют угол 30º. Боковая поверхность равна 24. Найти объем параллелепипеда. 13. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45º. Найти объем параллелепипеда. 14. Найти объем куба по его диагонали d = 3 3.

6 15. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 и 17, одна из диагоналей основания равна 21. Большая диагональ параллелепипеда равна 29. Найти объем параллелепипеда. 16. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 2:1, а диагональное сечение есть квадрат с площадью 25. Найти объем параллелепипеда. 17. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 6, угол между плоскостями двух боковых граней равен 60º. Большая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45º. Найти его объем. 18. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 5 2 и образует с плоскостью основания угол 45º. Найти объем параллелепипеда, если равна 12. площадь его основания 19. Найдите объем параллелепипеда, если его основание имеет стороны 8 м и 5м, угол между которыми равен 45º, а боковое ребро имеет длину 3 м и образует с плоскостью основания угол 60º. 20. Диагональ куба равна 5 3 см. Вычислите его объем. 21. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 480см², его ребра пропорциональны числам 3, 4 и 5. Вычислите площадь его полной поверхности. 22. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8см, 12см и 18см. Вычислите полную поверхность равновеликого ему куба. 23. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8см и 6см, угол между ними равен 30º. Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 188см². Вычислите его объем. 24. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого пропорциональны числам 5 и 16. Диагонали параллелепипеда равны 26см и 40см. Вычислите объем параллелепипеда. 25. Основанием параллелепипеда является квадрат со стороной 20см, а все боковые грани ромбы. Одна из вершин верхнего основания одинаково удалена от вершин нижнего основания. Вычислите объем параллелепипеда. 26. Основанием параллелепипеда является ромб со стороной 12см и углом 60º. Боковое ребро равно 18см и образует со смежными сторонами основания углы по 45º. Вычислите объем параллелепипеда.