Задачник по линейной Алгебре и Мат Анализу / Часть 10

Для данных повторных интегралов написать уравнения кривых, ограничивающих области интегрирования, и построить эти области:

Определить пределы интегрирования для интеграла , где область интегрирования ограничена линиями:

Изменить порядок интегрирования:

Перейдя к полярным координатам, вычислить следующие интегралы:

10.39. , где область G – кольцо между двумя окружностями и .

10.41. , где область G – часть круга радиуса a с центром в точке О (0, 0), лежащая в первой четверти.

10.43. , где область G ограничена кривыми , , .

10.44. , где область G ограничена кривыми , , .

10.45. , где область G ограничена лепестком лемнискаты .

Вычисление площадей посредством двойного интеграла.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y 2 =4ax+4a 2 и x+y=2a (a>0).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y 2 =2x и прямой y=x.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми xy=4 и x+y=5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 =4ax, x+y=3a, y=0.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми , x=2y, x=0 (a>0).

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x 1/2 +y 1/2 =a 1/2 , x+y=a.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r=a(1–cos) и r=a (вне кардиоиды).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=cosx, x=0.

Найти площадь части плоскости , вырезаемой цилиндром y 2 =ax и плоскостью x=a.

Вычислить площадь петли кривой =asin2.

Найти площадь части поверхности цилиндра x 2 +z 2 =a 2 , вы-

резаемой цилиндром y 2 =a (a–x).

Вычислить всю площадь, ограниченную лемнискатой  2 =a 2 cos2.

Найти площадь части поверхности конуса x 2 +z 2 =y 2 , вырезаемой цилиндром y2=2px .

Вычислить площадь петли кривой .

Указание. Перейти к новым переменным x=acos и y=bsin.

Найти полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами x 2 =ay, z 2 =ay, и плоскостью y=2a (a>0).

Найти площадь части поверхности конуса x 2 +z 2 =y 2 , вырезаемой плоскостями x=0, x–y=2a, y=0.

Найти площадь части поверхности цилиндра x 2 +y 2 =2ax, вырезаемой цилиндром z 2 =2a(2a–x).

Найти площадь части сферы x 2 +y 2 +z 2 =2a 2 , заключенной внутри конуса x 2 +y 2 =z 2 .

Найти площадь части поверхности параболоида z=x 2 –y 2 , заключенной между параболоидами z=3x 2 +y 2 –2 и z=3x 2 +y 2 –4.

Найти площадь части сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 , вырезаемой цилиндром с образующими, параллельными оси OZ, направляющий которого служит трехлепестковая роза r=asin3.

Найти площадь части винтовой поверхности z=aarctg(x/y), вырезаемой цилиндром x 2 +y 2 =a 2 .

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

Найти объем тела, ограниченный координатными плоскостями, плоскостью и цилиндром .

Найти объем тела, ограниченный круговым цилиндром радиуса , ось которого совпадает с осью OZ, плоскостями координат и плоскостью .

Определить центр тяжести площади, ограниченной линиями .

Найти центр тяжести площади, ограниченной одной петлей кривой .

Определить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями .

Определить координаты центра тяжести полуэллипса , отсеченного осью .

Определить момент инерции площади ограниченной линиями: относительно оси .

Определить момент инерции площади ограниченной линиями: .

Определить момент инерции относительно оси площади треугольника с вершинами .

Вычислить момент инерции относительно оси фигуры, ограниченной кардиоидой .

Вычислить полярный момент инерции фигур, ограниченной линиями.

Тройные интегралы.

Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле для указанных областей Т:

Область Т – тетраэдр, ограниченный плоскостями 2x+3y+4z=12, , , .

Область Т – внутренность эллипсоида .

Область Т ограничена поверхностями , .

Вычислить , если область интегрирования ограничена координатными плоскостями и плоскостью .

Вычислить объем тела, ограниченного сферой x 2 +y 2 +z 2 =4 и поверхностью параболоида x 2 +y 2 =3z.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью , цилиндрической поверхностью и сферой (внутри цилиндра).

Определить объем тел, ограниченных поверхностями: .

Вычислить момент инерции кругового прямого конуса относительно его оси.

Примечание: в задачах 8.88, 8.90 - 8.92 считаем плотность постоянной и равной 1)

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью с уравнением (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 =a 3 x.

Вычислить момент инерции круглого конуса относительно диаметра основания.

Вычислить координаты центра тяжести тела, содержащегося между сферой радиуса a и конической поверхностью с углом при вершине 2, если вершина конуса совпадает с центром сферы.

Вычислить координаты центра тяжести тела, ограниченного сферой радиуса a и двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и образующими угол в 60 0 .

Найти координаты центра масс полушара x 2 +y 2 +z 2 ≤R 2 , если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до центра.

, где область Т – тетраэдр, ограниченный плоскостями x+y+z=a, x=0, y=0, z=0.

, где область Т ограничена поверхностями y=x 2 , x=y 2 , z=xy, z=0.

, где область Т ограничена поверхностями z=y 2 –x 2 , z=0, y=1.

Вычислить координаты, перейдя к цилиндрическим координатам:

, где область Т ограничена поверхностями x 2 +y 2 =a 2 , z=0, z=h.

, где область Т ограничена поверхностями x 2 +y 2 =z 2 , z=a.

, где область ограниченна поверхностями: .

, где область ограничена плоскостями:

10.1. 8/3. 10.2. . 10.3. /6. 10.4. ln (25/24). 10.5. (1/2)ln(14/11). 10.6. 15/4. 10.7. a 2 /4(+4). 10.8. (1/2)a 2 . 10.9. 3/2. 10.10. arctg . 10.11. . 10.12. . 10.13. y=x, y=x+3, x=1, x=2. 10.14. y= , y= , x=0, x=1. 10.15. x+y=2, x= , y=0, y=2. 10.16. . 10.17. . 10.18. . 10.19. . 10.20. . 10.21. . 10.22. . 10.23. . 10.24. . 10.25. . 10.26. . 10.27. .10.28. . 10.29. . 10.30. . 10.31. . 10.32. . 10.33. . 10.34. .

10.35. . 10.36. . 10.37. (2/9)a 3 . 10.38. . 10.39. . 10.40. . 10.41. . 10.42. . 10.43. . 10.44. . 10.45. . 10.46. . 10.47. . 10.48. . 10.49. . 10.50.. 10.51. . 10.52. . 10.53. . 10.54. . 10.55. . 10.56. . 10.57. . 10.58. . 10.59. . 10.60. . 10.61. 10.62. . 10.63. . 10.64. . 10.65. . 10.66. . 10.67. . 10.68. . 10.69. . 10.70. . 10.71. . 10.72. . 10.73. .10.74. . 10.75. 10.76. . 10.77. . 10.78. . 10.79. . 10.80. . 10.81. . 10.82. . 10.83. . 10.84. . 10.85. 549/144. 10.86. . 10.87. . 10.88. 16. 10.89. . 10.90. . 10.91. . 10.92. . 10.93. . 10.94. . 10.95. . 10.96. . 10.97. . 10.98. .10.99. . 10.100. . 10.101. . 10.102. . 10.103. . 10.104. . 10.105. . 10.106. . 10.107. . 10.108. . 10.109. .10.110. .10.111. . 10.112. . 10.113. . 10.114. . 10.115. , где - высота, - радиус основания конуса. 10.116 . 10.117. . 10.118. , , (ось конуса принята за ось Oz, вершина помещена в начале координат.) 10.119. , , (линия пересечения плоскостей принята за ось Oz, центр сферы - за начало координат; , ,  – сферические координаты). 10.120. ). 10.121. 1/6. 10.122. 81/4. 10.123. a 4 /12. 10.124. a 4 /8. 10.125. 1/96. 10.126. 4/15. 10.127. . 10.128. (a 4 )/h. 10.129. . 10.130. 4.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎