Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью

Продолжительность: 1 урок, 45 минут.

Класс: 10.

Цель урока: Ввести понятия наклонной, проекции наклонной, угла между прямой и плоскостью. Закрепить эти понятия в ходе решения задач.

Задачи урока:

1. повторить понятия расстояния от точки до плоскости и прямой, перпендикулярной плоскости;
2. ввести понятия наклонной, проведенной из точки к плоскости; проекции наклонной;
3. рассмотреть свойства наклонных и их проекций;
4. дать определение угла между прямой и плоскостью;
5. закрепить введенные понятия;
6. развивать логическое и пространственное мышление, самооценку учащегося.

Оборудование: компьютер, листы бумаги формата А4, деревянные палочки (одна из них окрашена в красный цвет), пластилин.

Демонстрации: презентация Microsoft PowerPoint 2003.

Ход урока

Учащийся готов к уроку. Начинаем наш урок.

Учащемуся задано на дом следующее задание:

1. Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если НР = 4 см, НК = 5 см, МЕ = 12 см.
2. Найдите синус, косинус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8 см, АВ = 17 см.
3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противоположный угол равен d. Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и d.

Учащийся с помощью компьютера (слайды 2, 3, 4) проверяет домашнее задание, оценивает свою работу, ставит оценку за работу (самооценка), учитель в течение урока проверяет домашнее задание учащегося и ставит рядом оценку за выполненную работу.

Учитель актуализирует знания учащегося в ходе устной работы по домашнему заданию (слайды 6, 7).

Учитель сообщает тему урока, ученик записывает ее в тетрадь. Учитель сообщает цели урока.

Учитель вводит новый материал (слайд 9).

Ученик делает чертеж в тетради, записывает определение проекции и устно отвечает на поставленные вопросы.

Учитель: рассмотрим некоторые свойства наклонных, выходящих из одной точки (слайд 10).

Ученик делает модели первого и второго свойства, используя деревянные палочки (в качестве перпендикуляра к плоскости использует окрашенную палочку), пластилин и бумагу формата А4 и устно доказывает каждое из утверждений с помощью построенной модели. Третье свойство наклонных принимаем без доказательства.

Учитель: Прямая, пересекающая плоскость образует с ней некоторый угол. Что называют углом между прямой и плоскостью?

Определение: За угол между прямой и плоскостью принимают угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Учащийся записывает в тетрадь определение, делает чертеж и обозначает угол.

Учитель формулирует утверждение:

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость является наименьшим из углов, которые образует наклонная с любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Ученик устно доказывает это утверждение с помощью учителя и компьютера (слайд 12).

Учитель кладет перед учащимся опорную карточку по значениям тригонометрических функций для некоторых углов.

Опорная карточка.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

Учащийся самостоятельно выполняет задание № 163(а) и № 165 из учебника (слайд 13).

№163(а). Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 45°?

№165. Из точки А, удаленной от плоскости g на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость g образуют угол в 120°. Найдите ВС.

Учащийся внимательно читает задание № 165, по условию строит модель на бумаге формата А4 с помощью палочек и пластилина. Анализирует данные, затем приступает к решению задачи, оформляя решение в тетради.

Так как АО^a, то DАВО и DАОС – прямоугольные треугольники.

По теореме косинусов для DВОС:

ВС 2 =ВО 2 + ОС 2 - 2·ВО·ОС·COS 120° COS 120°= - 0,5 ВС 2 =3d 2 + 3d 2 - 2·3d·d·(-0,5) ВС 2 =6d 2 + 3d 2 ВС 2 =9d 2 BC=3d

Учитель в ходе устного опроса подводит итоги урока (слайд 15). Учащийся отвечает на вопросы.

Учитель задает учащемуся следующие вопросы: доволен ли ты итогами урока? Доволен ли ты собой на уроке? С каким настроением ты работал на уроке? Устал ли ты? Какую бы отметку ты бы поставил себе за этот урок?

выучить теорию, №154, №163(б), прочитать и разобрать решение №162 (слайд 16).