Попов - весь практикум по геометрии
CC 1 D 1 D. Отрезок MN с концами на прямых AD и KL пересекает прямую PQ и перпендикулярен к ней. Найдите длину этого отрезка.
1.9. Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD с вершиной P. На ребрах PA и PC взяты точки K и M соответственно, причем AK : KP=1 : 3, CM = PM. Найдите отношение, в котором делится ребро PB плоскостью, проходящей через D, K, M.
1.10 . Точки M и N — середины ребер AB и CD тетраэдра ABCD. Точка P делит ребро AD в отношении AP : AD = 2 : 3. Точка Q так расположена на ребре BC, что отрезки MN и PQ пересекаются. Найдите отношение BQ : QC.
1.11. В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведена диагональная плоскость AA 1 С 1 C . Точка M делит ребро DC так, что DM : MC = 1: 1 .
Точка N делит ребро B 1 A 1 в отношении B 1 N : NA 1 = 1: 3 . Прямая MN пе-
ресекает диагональную плоскость в точке K. Найдите отношение
1.12. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD двугранный угол при основании равен 60 . Точки M и N — середины боковых ребер SB и SC. Найдите угол между прямыми AM и BN.
1.13. Основанием прямой призмы служит ромб, длина стороны которого равна a . Боковое ребро имеет длину 3a . Середина M диагонали
A 1 B боковой грани соединены с точкой K на диагонали B 1 D 1 верхнего основания. Найдите длину отрезка MK, если он параллелен плоскости
1.14. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна а . Точки K и Q — середины сторон основания DC и AB соответственно. Найдите длину отрезка, один конец которого лежит на QK, а другой на ребре DS и при этом делит его в отношении SM : SD = 2 : 3. Угол наклона бокового ребра к основанию равен .
1.15. Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 имеет длину а . На диагоналях D 1 A
и A 1 B лежат соответственно точки M и K так, что D 1 M:D 1 A = KB : A 1 B =
=1: 3 . Найдите расстояние от вершины C до прямой MK.
1.16. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна а . Точка F — середина ребра SA, а точка E лежит на SC,
SC . Отрезок MN с концами на прямых AB и CK
пересекает FE и перпендикулярен к ней. Найдите его длину.
1.17. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD имеет длину l , а плоский угол при вершине равен 60°. Точка E — середина ребра SС, а точка F делит ребро SA в отношении SF : SA = 1: 3 . Найдите длину отрезка MN, перпендикулярного прямой FE, если точка M лежит на ребре SB, а точка N принадлежит высоте пирамиды SO.
1.18. В тетраэдре DABC с вершиной в точке D проведен отрезок KM, один конец которого лежит в точке пересечения медианы и стороны основания, к которой она проведена, а другой конец M лежит на медиане DO тетраэдра и делит ее в отношенииDM : MO = p : q . Найди-
1.19. Высота тетраэдра SABC имеет длину h, CF — медиана ABC , SF — медиана ABS. Найдите длину отрезка M 1 M 2 , если M 1 и M 2 — точки пересечения медиан в треугольниках ABC и ABS.
1.20. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . M — середина ребра AA 1 . Найдите величину угла между плоскостями (MB 1 C) и (AA 1 D).
1.21. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите длину общего перпендикуляра прямых AC 1 и A 1 D, если AB = 2, BC = 1,
1.22. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . M — середина ребра BB 1 , N — центр грани DD 1 C 1 C. Найдите величину угла между плоскостями (MNC 1 ) и (AMC).
1.23. Найдите расстояние между диагоналями AD 1 и DC 1 двух смежных граней куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром a .
1.24. На ребрах DA, DB, DC треугольной пирамиды DABC взяты
точки M, N, K так, что
DK 3 DC . Точка Q —
точка пересечения медиан ABC . В каком отношении плоскость
(MNK) делит отрезок DQ?
что AB 2 + BC 2 + AC 2 = a 2 ,
1.25. Дан тетраэдр
SA 2 + SB 2 + SC 2 = b 2 . Найдите SO, где О — точка пересечения медиан
1.26. В правильном тетраэдре DABC отрезок MN соединяет середину ребра AD с центром грани BCD, а отрезок QP соединяет середину ребра CD с центром грани ABC. Найдите угол между отрезками MN
1.27. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Известно, что N — точка пересечения
диагоналей грани ABCD, M A 1 D 1 и A 1 M : MD 1 = 1: 4. Вычислите угол между прямой MN и плоскостью грани ABCD.
1.28. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка K — середина ребра AA 1 , L — середина ребра AD, M — центр грани DD 1 C 1 C. Докажите, что прямые KM и B 1 L взаимно перпендикулярны.
1.29. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость проходит через точку D и отсекает от боковых ребер SA и SC от-
резки, длины которых равны: SK 3 2 SC , SM 3 1 SA . Длина бокового ребра пирамиды равна а . Найдите длину отрезка SN, где N SB.
1.30. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через точки D, C 1 и середину [A 1 B 1 ], делит диагональ D 1 B?
1.31. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки P и Q — середины соответственно ребер AD и C 1 D 1 . Длина ребра куба равна 4. Найдите угол между плоскостями (ABC) и (CPQ).
1.32. В основании пирамиды MABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С и AC = a, BC = 2a. Боковое ребро MC перпендикулярно плоскости основания и MC = BC. Точки P, Q и R — середины соответственно ребер AB, BC и MB. Найдите расстояние между прямы-
1.33. Сторона основания ABCD правильной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 имеет длину 2a , боковое ребро имеет длину a . Рассматриваются от-
резки с концами на диагонали AD 1 грани и диагонали DB 1 призмы, параллельные плоскости AA 1 B 1 B. Один из этих отрезков проведен через
точку М диагонали AD 1 , такую, что AM : AD 1 2 : 3 . Найдите длину этого отрезка.
1.34. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отношение длин бокового ребра и стороны основания равно 2. Найдите угол между диагональю BD 1 призмы и плоскостью (BC 1 D).
1.35. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка М — середина ребра AA 1 , а точка F делит ребро B 1 C 1 в отношении 3 : 1. Найдите угол между плос-
костями (MB 1 D) и (FAD).
1.36. Дан правильный тетраэдр DABC. Точки K и L — середины со-
ответственно ребер AD и BC. CC 1 — высота ABC . Найдите угол между прямыми KL и CC 1 .
1.37. Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 имеет длину а . Найдите угол между прямой BD 1 и плоскостью (BC 1 D).
1.38. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD величина
двугранного угла при основании равна 30 . Точки M, N, P, Q — середины соответственно ребер AB, BC, CD и DA. Точка E лежит на ребре AB, F принадлежит (SC). Известно, что углы, образованные прямой EF
с плоскостями (SMP) и (SBA), а также угол между прямой DF и плоскостью (SNQ), равны. Найдите величину этих углов.
1.39. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка М лежит на ребре AA 1 таким образом, что AM : MA 1 = 3 : 1. Точка N — середина BC. Найдите угол между прямыми MN и BD.
1.40. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки P и Q — середины соответственно ребер A 1 B 1 и DD 1 . Найдите угол, который образует прямая B 1 D
с плоскостью , проходящей через вершину C 1 перпендикулярно прямой PQ.
1.41. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Стороны основания AB = 3, AD = 5, длина бокового ребра равна 1. Точки P и Q —
середины соответственно ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 . Найдите расстояние между точкой Q и плоскостью, проходящей через прямую BP и параллельной прямой AD.
1.42. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точка M принадлежит прямой SC и делит ее пополам. Найдите угол между прямыми DC и AM, если SB = AB.
1.43. Все боковые грани призмы ABCA 1 B 1 C 1 — квадраты. Точки M, N, P и Q — середины соответственно ребер A 1 B 1 , CC 1 , AB и A 1 C 1 . Найдите угол между прямыми MN и PQ.
1.44. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором ребра равны 2, 4, 6. Точки K, L и M — середины соответственно ребер CC 1 , BC и AB. Найдите угол между плоскостями (A 1 KD 1 ) и (KLM).
1.45. Дана прямая треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1 , основание которой правильный треугольник со стороной, равной 4. Точка M — середина стороны AB. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми CM и AB 1 , если АА 1 = 6.
1.46. В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной, равной 4, ребро SB перпендикулярно плоскости основания и равно 5. Точки L и K — середины соответственно ребер AS и CD. Найдите угол между прямой AB и плоскостью, параллельной прямым LD и BK.
1.47. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Ребро куба равно 1. Найдите расстояние между диагональю DB 1 и скрещивающимися с ней диагоналями граней этого куба.
1.48. В основании пирамиды MABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое боковое ребро обра-
зует с плоскостью основания угол, равный 45 . На ребре MB взята точка K — середина этого ребра. Найдите угол между прямой AK и плоскостью (MBC).
1.49. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина каждого ребра равна а . Точка M принадлежит прямой SC и SM: MC = 2 : 1. Найдите угол между прямыми DC и AM.
1.50. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания. На ребре MC взята точка P — середина этого ребра. AB = 1, MB = 2, BC = 3. Точка
О — точка пересечения диагоналей основания. Найдите расстояние от точки D до прямой OP.
1.51. Дана правильная треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1 , в которой
AA 1 = 2AB . Найдите угол между прямыми AC 1 и A 1 B.
1.52. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, основанием которой является квадрат со стороной, равной 2. Высота пирамиды SO равна 4. Точки M и N — середины соответственно ребер AB и SC, а точка P делит SO в отношении 3 : 1, считая от вершины. Найдите угол между AD и плоскостью, параллельной прямым MP и BN.
1.53. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки M, N и P — середины соответственно ребер AA 1 , AB и A 1 B 1 . Найдите расстояние от точки P до плос-
1.54. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , у кото-
рого AB : AD : AA 1 = 1 : 2 : 3. На ребрах A 1 D 1 и B 1 C 1 взяты соответственно
точки P и Q такие, что A 1 P : A 1 D 1 = C 1 Q : C 1 B 1 =1: 3 . Считая AB = 1, найдите расстояние от точки B до плоскости (DPQ).
1.55. В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Ребро MA перпендикулярно плоскости основания и MA = AC = AB. На ребрах MA, MB и MC взяты соответственно точки D, E, F — середины этих ребер. Найдите угол между прямыми BD и CE.
1.56. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, боковое
ребро которой наклонено к плоскости основания под углом 45 . Точка K — середина ребра BS. SH — медиана боковой грани. Найти угол между прямыми DK и SH, SD и AC.
1.57. Дана прямоугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами основания 2 и 4 и высотой 6. Точка Q — середина ребра АА 1 , а точка P делит BB 1 в отношении B 1 P : B 1 B = 2 : 3. Найдите угол между плоско-
стями (B 1 C 1 Q) и (CDP)
1.58. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки P и Q — середины соответственно ребер D 1 C 1 и DC. Найдите угол между плоскостями (AA 1 Q) и (BC 1 P).
1.59. Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 имеет длину a . Найдите угол между прямыми AD 1 и DC 1 .
1.60. Сторона основания ABCD правильной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
имеет длину 2a , боковое ребро имеет длину a . Рассматриваются отрезки с концами на диагонали AD 1 грани и диагонали DB 1 призмы, параллельные плоскости AA 1 B 1 B. Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
1.61. На ребрах AA 1 и C 1 D 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер. Считая ребро куба равным 1, найдите расстояние до плоскости (B 1 PQ) от точки А 1 .
1.62. В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Ребро MA перпендикулярно плоскости основания и
MA = AC = AB. На ребрах MA, MB и MC взяты соответственно точки D, E, F — середины этих ребер. Найдите угол между прямыми CE и AF.
1.63. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD, а ее вершина M проектируется в точку B, и MB = AB. На ребре MD взяты точки K 1 ,K 2 и K 3 , такие, что DK 1 = K 1 K 2 = K 2 K 3 = K 3 M. Найдите угол, который образует с плоскостью (MAD) прямая CK 1 .
1.64. На ребре CC 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка К — середина
этого ребра. Найдите угол, который образует плоскость (BDK) с плоскостью (AB 1 C 1 ).
1.65. В основании прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит треугольник с прямым углом при вершине С и отношением катетов BC : AC = 1 : 2. Боковое ребро призмы равно гипотенузе треугольника АВС. На ребре
AA 1 призмы взята точка Р — середина этого ребра. Считая ВС= 1, найдите расстояние от точки B 1 до плоскости (BC 1 P).
1.66. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и МВ= АВ. На ребре МС взята точка Р — середина этого ребра. Найдите угол, который образуют прямые DP и AC.
1.67. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и равно стороне ос-
нования. На ребре МС взяты точки F 1 , F 2 и F 3 такие, что CF 1 = F 1 F 2 = F 2 F 3 = F 3 M. Найдите угол между прямой DF 1 и плоскостью
1.68. В правильной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отношение ребер AB : AA 1 =
= 3 : 4. Найдите угол между плоскостями AB 1 C и A 1 B 1 C .
1.69. Боковые грани призмы ABCA 1 B 1 C 1 — квадраты. На ее ребре
CC 1 взята точка Р — середина этого ребра, а на прямых BB 1 и BA
взяты соответственно точки Q и R, такие, что BQ : BB 1 = BR : BA = 3 : 2. Считая АB = 1, найдите расстояние от точки C 1 до плоскости (PQR).
1.70. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1: 2. Высота МО пирамиды равна диагонали основания и проектируется в точку пересечения диагоналей. На ребрах МС и МВ пирамиды взяты соответственно точки K и L — середины этих ребер. Найдите угол между прямыми DK и MA.
1.71. Диагональ A 1 C правильной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 образует с
плоскостью ее основания угол, равный 45 . Найдите угол между прямой A 1 C и плоскостью (AB 1 D 1 ).
1.72. Боковое ребро правильной призмы ABCA 1 B 1 C 1 равно стороне ее основания. На стороне AC взяты точки K 1 и K 2 , такие, что CK 1 = K 1 K 2 = K 2 A. Найдите угол между плоскостями (ABC 1 ) и (A 1 BK 1 ).
1.73. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1 : 2. Высота пирамиды проектируется в точку
О — центр основания и равна большей стороне основания. На ребрах МА и МС пирамиды взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер. Точка N — середина ребра АВ. Считая АB = 2, найдите расстояние от точки N до плоскости (DPQ).
1.74. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1: 2. Высота MO пирамиды проектируется в точку О — середину ребра ВС, и МО= АВ. На ребре МА взята точка Р — середина этого ребра. Найдите угол между прямыми DP и MC.
1.75. Отношение высоты МО правильной пирамиды MABCD к сто-
роне ее основания равно 14 : 2 . Через диагональ BD основания и точку К — середину ребра МС проведена плоскость. Найдите угол между прямой МС и плоскостью (BDK).
1.76. Точка К — середина ребра АС правильной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , боковое ребро которой равно стороне ее основания. Найдите угол между плоскостями (BKC 1 ) и (ACB 1 ).
1.77. На ребре МВ правильной пирамиды MABC, высота которой равна стороне основания, взята точка Р — середина этого ребра, а на
прямых АВ и ВС взяты соответственно точки Q и R, такие, что
BQ : BA = BR : BC = 3 : 2. Считая АB = 2, найдите расстояние от точки А
до плоскости (PQR).
На прямой, проходящей через вершины A 1 и C 1 куба
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , взята точка Р, такая, что A 1 P : A 1 C 1 = 2 : 1 , а на прямой
B 1 D взята точка Q, такая, что B 1 Q : B 1 D = 3 : 2 . Найдите угол между прямыми C 1 Q и BP.
1.79. На ребрах BB 1 , DD 1 и AD куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P, Q и R — середины этих ребер. Найдите угол между прямой A 1 D и плоскостью (PQR).
1.80. В основании прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит прямоугольный треугольник, у которого AC = BC. Известно также, что AA 1 = AC. На ребрах A 1 C 1 и AA 1 взяты соответственно точки P и Q — середины этих ре-
бер и через точку C 1 проведена плоскость , параллельная прямым AP и B 1 Q. Найдите угол, который образует плоскость с плоскостью
1.81. В основании пирамиды MABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С, и AC = BC. Ребро МА пирамиды перпендикулярно плоскости основания, и MA = AB. Через точку К — середину ребра АС перпендикулярно прямой МВ проведена плоскость . Считая АС= 1, найдите расстояние от точки В до плоскости .
1.82. Боковое ребро призмы ABCA 1 B 1 C 1 равно гипотенузе АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, лежащего в основании призмы. На ребрах AB и BB 1 призмы взяты соответственно точки K
и L — середины этих ребер, а на прямых CL и C 1 K взяты соответст-
венно точки P и Q, такие, что CP : CL = C 1 Q : C 1 K = 3 : 2 . Найдите угол
между прямыми C 1 P и CQ.
1.83. Высота МО правильной пирамиды MABC равна стороне ее основания. На отрезке ОВ взята точка Р — середина этого отрезка. Найдите угол между прямой МР и плоскостью (MAB).
1.84. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна диагонали основания. Найдите угол, который образует плоскость, проходящая через прямую АВ перпендикулярно плоскости (MCD), с плоскостью (ABC).
1.85. В основании призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит правильный треугольник. Боковое ребро призмы наклонено к плоскости основания под уг-
лом 45 , и АВ 1 = СВ 1 . Через вершины A, B 1 и C проведена плоскость .
Считая AB = 2 3 6 , AA 1 =1 , найдите расстояние от точки A 1 до плоско-
1.86. На ребрах АВ, АС правильной пирамиды МАВС, все плоские углы при вершине М которой прямые, взяты соответственно точки D, F — середины этих ребер. Найдите угол между прямыми ВF и MD.
1.87. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1 : 3. Высота МО пирамиды в два раза больше стороны АВ и проектируется в точку пересечения диагоналей основания. На ребре МВ пирамиды взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол, который образует прямая ОК с плоскостью (MBC).
1.88. Высота МО пирамиды MABCD проектируется в точку пересечения диагоналей основания, которым является прямоугольник с отношением сторон AB :AD =1:2 и MO= AD. На ребре МС взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол между плоскостями (ABC) и (BDK).
1.89. На ребрах AA 1 и C 1 D 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер. Считая ребро куба равным 1, найдите расстояние от точки D до плоскости (B 1 PQ).
1.90. В основании пирамиды MABC лежит правильный треугольник АВС, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, и МВ= АВ. Точка D — середина ребра МС. Найдите угол между прямыми МА и ВD.
1.91. В правильной пирамиде MABCD AB : MA = 1 : 2. На ребре МА взята точка К — середина этого ребра. Найти угол между прямой DK и плоскостью (MCD).
1.92. На ребре CC 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол, который образует плоскость (BDK) с плоскостью (A 1 BC).
1.93. В основании прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит треугольник с прямым углом при вершине С и отношением катетов BC : AC = 1 : 2. Боковое ребро призмы равно гипотенузе треугольника АВС. На ребре
AA 1 призмы взята точка Р — середина этого ребра. Считая ВС= 1, найдите расстояние от точки А 1 до плоскости (BC 1 P).
1.94. В диагональном сечении МАС пирамиды MABCD, основанием
которой является ромб, угол при вершине М равен 90 , а в сечении
МDB — 60 . Высота пирамиды проектируется в точку О — точку пересечения диагоналей основания. На ребре МС взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол между прямыми AC и DK.