Темы проектов по математике для учащихся седьмых классов.

Дети-математики. Известны случаи, когда математические способности проявлялись у людей в довольно раннем возрасте. Некоторые из них потом стали математиками, некоторые выбрали другой путь. В проекте предполагается рассказ о том, какие результаты были получены юными математиками, и как сложилась их дальнейшая судьба.

Треугольник Паскаля и его свойства. "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике". (М. Гарднер).

Грамматические нормы современного русского языка на уроках математики.

Геометрия помогает алгебре (решение текстовых задач с помощью графиков).

Российские математики-лауреаты престижных премий. Известно, что Нобелевская премия за результаты в математике не вручается. Но премиями математики (в том числе и наши соотечественники) не обижены. Какими именно? За что и кем они получены?

Математики-писатели (Александр Волков, Александр Солженицын, Льюис Кэрролл, Алан Милн и другие).

Ф ормула Пика (с доказательством).

Формула Пика изящна своей простотой и примечательна тем, что её можно легко проверить с помощью карандаша и листа бумаги в клетку. Нарисуем на клетчатой бумаге многоугольник так, чтобы все его вершины приходились на узловые точки сетки. Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри многоугольника, Г – количество узлов на его границе. Теорема Пика утверждает, что площадь многоугольника можно найти по формуле

. В нашем случае В=27, Г=15, S =33,5 (проверьте!).

Вторая группа тем – проекты-исследования

(не очень сложные).

Головоломки своими руками. Должна получиться небольшая игротека головоломок собственного изготовления и приложение - правила и решения к ним.

Л ебеди, изображенные голландским художником М. Эшером, образуют, как говорят математики, паркет, то есть полностью заполняют плоскость без просветов и наложений. Паркеты могут состоять и не из одной фигуры (см. рисунок, где паркет образуют два неравных квадрата), но мы будем рассматривать только паркеты, образованные повторением одной фигуры. Примеры вы видите на рисунках. И не только варианты паркетов, но и способ их получения. Паркет из моряков придумал ученик 6 класса, а три последних паркета тоже принадлежат школьникам, но уже японским.Ваш проект состоит в том, чтобы самим придумать красивые паркеты.

В осстановите примеры:

В последнем примере выполнено возведение в квадрат, причем известно, что в записи произведения встречается цифра 5.

Придумайте свои аналогичные примеры, которые можно восстановить однозначно.

Задачи о разрезании.

Задача 1.Легко видеть, что правильный шестиугольник (то есть такой, у которого равны все стороны и все углы) можно разрезать на две равные трапеции. А можно ли его разрезать на большее число трапеций? Сколькими способами можно это сделать?

Задача 2. Бумажный треугольник разрезают по одной из его биссектрис.

а) докажите, что из треугольников с углами 20 о , 40 о , 120 о и 40 о , 60 о , 80 о можно с помощью такой процедуры получить треугольник с теми же углами, что и в первоначальном треугольнике (возможно, разрезания по биссектрисе придется проводить несколько раз), а из треугольника с углами 20 о , 20 о , 140 о - нельзя.

б) Найдите все треугольники, из которых с помощью разрезаний по биссектрисе можно получить треугольник с углами 20 о , 20 о , 140 о .

Игра «Ферзь». На поле f8 стоит ферзь. Играют двое и ходят по очереди. Каждый из игроков за один ход может передвинуть ферзя либо на несколько клеток вниз по вертикали (на сколько угодно), либо на несколько клеток влево по горизонтали, либо на несколько клеток влево – вниз по диагонали. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Значит, выигрывает тот, кому удастся загнать ферзя в левый нижний угол – на поле а1. Кто выигрывает при правильной игре - первый или второй игрок, и как он должен играть?

Задачи о замощении плоскости минус-кубиками.

Из куба размером 2х2 удаляют один или несколько кубиков 1х1 (см. таблицу). Получившиеся многогранники назовем минус-кубами. Их 7 видов. И многогранниками каждого вида можно замостить пространство без просветов и наложений. Этот факт и надо доказать.

Третья группа тем – проекты-исследования

Задачи, посвященные цифрам 6 и 9.

Задача 1. Объясните закономерность, которая имеется в следующей числовой пирамиде:

Задача 2. Объясните закономерность, которая имеется в следующей числовой пирамиде:

Задача 3. Объясните закономерность, которая имеется в следующей числовой пирамиде:

Задача 4. Объясните закономерность, которая имеется в следующей числовой пирамиде:

99 2 +66 2 =14157

999 2 +666 2 =1441557

9999 2 +6666 2 =144415557

99999 2 +66666 2 =14444155557

999999 2 +666666 2 =1444441555557

9999999 2 +6666666 2 =144444415555557.

Задача 5. Пусть А – число, в записи которого нет других цифр, кроме девяток и шестерок (допускается и случай только девяток или только шестерок). Например, А=9996966. Рассмотрим А*- число, которое получается из А заменой всех шестерок на девятки, а всех девяток – на шестерки. В нашем случае А*=6669699. Оба числа возведем в квадрат и из большего вычтем меньшее:

(А) 2 -(А*) 2 =9996966 2 -6669699 2 = 55454444454555.

Докажите, что для любого числа А данная разность записывается только пятерками и четверками.

Задача о покупке дыни. Предложена американским автором книг по популярной математике Мартином Гарднером, решена нашим соотечественником С. Гуссейн-заде. Здесь предложена в упрощенном варианте. Представим себе, что вы едете в поезде, который делает 30 остановок. На каждой станции вам предлагают купить за 100 рублей всего одну дыню. Цена дынь на всех станциях одинаковая, а вот дыни разные. У вас с собой всего 100 рублей, других денег нет, зато есть весы. Вы можете купить только одну дыню, и, естественно, хотите купить самую большую. Но назад пути нет. На любой станции можете либо покупать, либо не покупать, но за всю поездку – только одну дыню. Как повысить ваши шансы купить самую большую дыню?

Задачи о кузнечиках (по мотивам задач ЕГЭ).

Задача 1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой на целое число единиц, так, что первый прыжок он делает из начала координат вправо (в положительном направлении), второй – влево, затем снова вправо, и т.д., чередуя направления прыжков. Каждый последующий прыжок кузнечика длиннее предыдущих. Суммарная длина прыжков оказалась равной 1580 (единичных отрезков). Какое наименьшее значение может иметь координата кузнечика после n прыжков, если:

а) n =4; б) n =5; в) Может ли наименьшее значение координаты равняться -330? Если да, то для какого n это выполняется?

Задача 2. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой на целое число единиц, так, что первый прыжок он делает из начала координат вправо (в положительном направлении), второй – влево, затем снова вправо, и т.д., чередуя направления прыжков. Каждый последующий прыжок кузнечика длиннее предыдущих. Суммарная длина прыжков оказалась равной 1580 (единичных отрезков). Из всех наибольших значений его координаты найти наименьшее положительное значение. При каком количестве прыжков оно достигается?