Как складывать дроби с разными знаменателями?

Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac$, или на 27 и получить $\frac$ или на 101 и получить $\frac$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что величина дроби не изменилась.

Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac$), или на 3 (результат $\frac$), или на 4 (результат $\frac$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу.

Если числитель и знаменатель дроби $\frac$ умножить на 2, мы получим $\frac$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac$ и $\frac$ идентичны. Сформулируем общее правило.

Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.

Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac$ на 63 и получить дробь $\frac$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac$ или 5, поскольку 5:1=5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1. Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac$ равно 273; $\frac$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на целые и дробные, поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac+\frac=\frac$, $\frac \times \frac=\frac$.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями. Предположим, нам надо сложить $\frac$ и $\frac$.

Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac$ на 5. Получим $\frac$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac$ на 3. Получим $\frac$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac+\frac=\frac+\frac=\frac$.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить $3 + \frac+1\frac$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac+\frac$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем $\frac + \frac+\frac$, что равно $\frac$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби, ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac = \frac+\frac$ или $4\frac$.

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями, которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1 : 3 можно записать как $\frac$, а 1 : (-3) как $\frac$.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при деле­нии положительного числа на отрицатель­ное в результате мы получаем отрицатель­ные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть

$(-1) : 3 = \frac$ или $1 : (-3) = \frac$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac$, а поскольку при деле­нии отрицательного числа на отрицатель­ное число мы получаем положительное число, то $\frac$ можно записать как $+\frac$.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дро­бей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Пред­ставим оба числа в виде дробей и получим $\frac-\frac$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac-\frac$, то есть $\frac-\frac$, или $-\frac$.