ИТОГОВАЯ ПРАКТИКО-ЗНАЧИМАЯ РАБОТА. Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся 8 класса теме: «Квадратные уравнения»

1 1 ГБОУ ВПО «Академия социального управления» Дополнительное профессиональное образование кафедра математических дисциплин ИТОГОВАЯ ПРАКТИКО-ЗНАЧИМАЯ РАБОТА Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся 8 класса теме: «Квадратные уравнения» Выполнил слушатель учебного курса «Актуальные проблемы развития профессиональной компетентности учителя математики (в условиях реализации ФГОС)» учитель математики МОУ «СОШ 1 с УИОП» г. Ивантеевка Коробова Светлана Владимировна Руководитель курса: доцент кафедры Математических дисциплин Академии Социального Управления Кашицына Юлия Николаевна Москва 2014

2 2 Содержание Введение Глава 1. Теоретические основы обучения теме «Квадратные уравнения» 1. Требования ФГОС ООО к школьному курсу математики 2. Логико-дидактический анализ содержания темы «Квадратные уравнения» Глава 2. Методические рекомендации обучения теме «Квадратные уравнения» 3. Таблица целей обучения теме «Квадратные уравнения» 4. Средства обучения 5. Фрагмент поурочного планирования учебной программы по математике 6. Фрагменты уроков по теме «Квадратные уравнения» 7. Исторические сведения по теме «Квадратные уравнения» Заключение Список литературы Стр

3 3 Введение Актуальность «Все течет. Все изменяется. » - это крылатое выражение греческого философа Гераклита из Эфеса определяет постоянную изменчивость всех вещей. Современному обществу требуется активная, самостоятельная личность, которая способна принимать ответственные решения в быстро меняющихся условиях. Перед педагогической наукой встает вопрос как же воспитать такую личность? Ответ на этот вопрос отражается в федеральных государственных образовательных стандартах основного общего образования. Главной целью образования становится не передача знаний и социального опыта, а развитие личности ученика, его способности самостоятельно ставить учебные цели, проектировать пути их реализации, контролировать и оценивать свои достижения, иначе говоря формирование умения учиться. Как говорил Л.В. Выгодский, формирование любых личностных новообразований умений, способностей, личностных качеств (в том числе и универсальных учебных действий, и умения учиться в целом), возможно только в деятельности. Поэтому цели обучения математике определяются ФГОС, в котором особое место отводится задаче формирования у учащихся универсальных учебных действий: личностных, регулятивных, познавательных, коммуникативных. В современном обществе мало обладать определенной суммой знаний. В связи с этим главной задачей учителя новой школы становится воспитание человека с современным мышлением, способного реализоваться в жизни. Человека, который может анализировать свои действия; самостоятельно принимать решения, прогнозируя их возможные последствия; отличаться мобильностью; быть способным к сотрудничеству; обладать чувством ответственности за судьбу страны, ее социальноэкономическое процветание. Данный проект разработан в соответствии с требованиями ФГОС, в котором рассматриваются психолого-педагогические основы обучения теме «Формулы сокращенного умножения», связанные с реализацией ФГОС ООО. Цель проекта: Реализация требований ФГОС ООО при изучении темы «Квадратные уравнения». Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач. Задачи исследования 1. Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО. 2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ 3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме.

4 4 4. Составить учебную рабочую программу «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики (в соответствии с темой). 5. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе (фрагментов двух трёх уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении данной теме школьного курса математики). Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

5 5 ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Квадратные уравнения» 1. Требования ФГОС ООО к школьному курсу математики ФГОС ООО представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основной образовательной программы основного общего образования образовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию. Стандарт выдвигает три группы требований: требования к результатам освоения основной образовательной программы ООО; требования к структуре основной образовательной программы ООО; требования к условиям реализации основной образовательной программы ООО. Отличительной особенностью нового стандарта является его системнодеятельностный подход, ставящий главной целью развитие личности учащегося («портрет выпускника основной школы»). В соответствии с предлагаемой моделью ключевым является ориентация на способность не заучивать, а применять знания, реализовывать собственные проекты, на овладение умениями коммуникации, анализа, понимания, принятия решений. Поскольку в новой модели процесс обучения становится многообразным и вариативным, то важную роль начнет играть как внешняя, так и внутренняя система оценки качества, ориентированная на выявление и поддержку новых результатов, и распространение нового. В этой оценке должны найти место не только стандартизированные экзамены, но и новые методы оценивания, которые будут отражать достижения и индивидуальный прогресс ребенка. Стандарт устанавливает требования к результатам обучающихся, освоивших основную образовательную программу ООО, дает разъяснение личностным, метапредметным и предметным результатам. В результате освоения предметного содержания курса математики у учащихся формируются общие учебные умения и способы познавательной деятельности, обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию; получают представление об основных информационных процессах в реальных ситуациях. Чтобы математические знания воспринимались учащимися как личностно значимые, т. е. действительно нужные ему, требуется постановка проблем, актуальных для ученика данного возраста, удовлетворяющих его потребности в познании. В организации учебно-воспитательного процесса важную роль играет сбалансированное соединение традиционных и новых методов обучения, использование технических средств. Для развития мотивационно-волевой сферы личности обучающегося в процессе обучения математике важно создавать ситуации, в которых он познаѐт разнообразие математических отношений в реальной жизни, приобретает уверенность в своих силах при решении поставленных задач, развивает волю и настойчивость, умение преодолевать

6 6 трудности. Содержание примерной программы по математике позволяет шире использовать дифференцированный подход к учащимся. Это способствует нормализации нагрузки обучающихся, обеспечивает более целесообразное их включение в учебную деятельность, своевременную корректировку трудностей и успешное продвижение в математическом развитии.

7 7 2. Логико-дидактический анализ содержания темы «Квадратное уравнение» Определение целей обучения методу, т.к. управления, их конструкции являются математическими моделями очень многочисленных явлений (физических, химических и др.), то решение различных задач сводится к решению уравнений. Поэтому цели указанного метода состоят, в познании явлений, процессов действительности и в получении способа решения многих практических задач. Указанные цели метода управлений являются целями его изучения. Но помимо них можно говорить и о других целях таких, как образовательные и воспитательные, которые в определенной мере преследуют цель установления межпредметных и внутрипредметных связей, а значит, формирования системности знаний, связанных с рядом тем курса алгебры и геометрии. Квадратные уравнения это фундамент, на котором покоится величественное знание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений, дробно - рациональных уравнений, уравнений высших степеней. Основная цель изучения темы "Квадратные уравнения" - выработать умения решать квадрат уравнения и решать задачи, сводящие к ним. Для изучения темы «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8 класса по программе Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина и др. отводится 20 часов: 1. Какие уравнения называются квадратными 2 ч. 2. Формула корней квадратного уравнения 4 ч. 3. Вторая формула корней квадратного уравнения 2 ч. 4. Решение задач 3 ч. 5. Неполные квадратные уравнения 3 ч. 6. Теорема Виета 2 ч. 7. Разложение квадратного трёхчлена на множители 3 ч. 8. Контрольная работа 3 «Квадратные уравнения» 1 ч. На первых уроках вводится понятие квадратного уравнения и приведенного квадратного уравнения (п.3.1). Далее вводится первая и вторая формулы корней квадратного уравнения (п. 3.2, 3.3). В этой теме отводится п. 3.7 и на решение задач с помощью квадратного уравнения, начиная с простейших до более сложного уровня, что позволяет ученику выбирать и осваивать свой уровень знакомства с темой, её усвоением. Неполные квадратные уравнения (п. 3.5) рассматриваются только после отработки алгоритма решения уравнений по формулам, затем вводится теорема Виета (п. 3.6) и разложение квадратного трехчлена на множители (п.3.7). По учебникам других авторов данная тема рассматривается только в 9 классе. Говоря о решении квадратного уравнения, можно показать несколько способов их решения, одним из таких является нахождение корней по теореме Виета. Этот материал знакомит учащихся и с новыми формулами, доступными для запоминания и понимания. Дает учащимся возможность подготовить сообщение по теореме; о биографии французского математика Ф.Виет.

8 8 Тема «Квадратные уравнения предусматривает четыре проверочных работы и заканчивается выполнением контрольной работы 3. Таким образом, в ходе работы над темой в школьном курсе алгебры 8 класса учащиеся должны знать: определение квадратного уравнения, неполного, приведенного; формулы для нахождения его корней, алгоритм их поиска через дискриминант и по теореме Виета; теорему обратную теореме Виета. должны уметь: определять по виду квадратное уравнение, неполное, приведенное; решать неполное квадратное уравнение; определять количество корней в уравнении; решать квадратное уравнение по формулам; применять т.виета при решении; решать задачи с помощью квадратных уравнений. Компоненты анализа учебника Общая структура: а) характеристика частей б) структура наименьшей части Представление задачного материала: а) классификация. б) представление текста задачи. Методические особенности Характер изложения. Использование цвета, особых выделений главного. Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина и др. 8 класс а) Материал в учебнике по данной теме представлен в главе 3 «Квадратные уравнения», которая состоит из 7 пунктов. б) каждый пункт содержит теоретический материал, примеры, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. Имеются задания различной степени трудности а) задачный материал разбит на два блока: обязательные задачи, дополнительные более сложные задачи и трудные задачи. б) в основном присутствуют задачи, представленные математическим текстом Теоретический материал рассматривается сначала на конкретных примерах, а затем делаются обобщения и вывод формул Материал для запоминания (определения, теоремы, алгоритмы) выделяется жирным шрифтом.

9 9 Наглядность Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления задачного материала. Повторение Выводы. Достоинства. Недостатки Материал для повторения отсутствует В учебнике четко выделен материал для запоминания. Есть легкие задачи. Доступный стиль изложения материала, достаточное количество задачного материала Мало рисунков. Отсутствует материал для повторения Можно выделить два вида определений (в зависимости от определяемого объекта). Номинальные определения вводятся новые символы, термины, выражения или уточняется смысл ранее введенных объектов. Реальные определения фиксируются свойства новых определяемых объектов, то есть понятие вводится через ближайший род и видовые отличия. Рассмотрим понятия темы при изучении темы «Квадратные уравнения»: п/п Термин Вид определения Схемы определений понятия 1. Квадратное уравнение 2. Приведённое квадратное уравнение Через ближайший род и видовые отличия Через ближайший род и видовые отличия понятий 1) уравнение 2) стандартный вид: ax 2 +bx +c = 0, где a,b,cчисла (a 0), x- переменная 1) квадратное уравнение 2) старший коэффициент a=1 3. Неприведённое квадратное уравнение 4. Корень квадратного уравнения 5. Дискриминант квадратного уравнения (квадратного трёхчлена) 6. Полное квадратное уравнение Через ближайший род и видовые отличия Через ближайший род и видовые отличия Через ближайший род и видовые отличия Через ближайший род и видовые отличия 1)квадратное уравнение 2)старший коэффициент a 1 1) значение переменной х, 2) при подстановке которого, уравнение обращается в верное числовое равенство ( 0 = 0 ) 1)выражение 2)b 2 4ac Обозначение: D 1)квадратное уравнение 2)b 0 и с 0

10 7. Неполное квадратное уравнение 8. Квадратный трёхчлен 10 Через ближайший род и видовые отличия Через ближайший род и видовые отличия 1) квадратное уравнение 2) b = 0 3) с = 0 4) b = 0 и с = 0 1)многочлен 2)стандартный вид: ax 2 +bx +c, где a,b,cчисла (a 0), x- переменная В ходе изучения п. 3.2 «Формула корней квадратного уравнения» рассматриваются признаки наличия корней квадратного уравнения: п/п Название теоремы Формулировка теоремы Истинность обратного утверждения 1. Признак Если D < 0, то квадратное уравнение Истинно ax 2 +bx +c = 0 не имеет корней. 2. Признак Если D = 0, то квадратное уравнение ax 2 +bx +c = 0 имеет один корень, Истинно который находится по формуле х = Признак Если D > 0, то квадратное уравнение ax 2 +bx +c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: x 1 =, x 2 =. Истинно Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение п. 3.6 «Теорема Виета», которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Название теоремы Теорема Виета Формулировка теоремы Если x 1 и x 2 - корни уравнения х 2 +px + q = 0, то x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q. Истинность обратного утверждения истинно

11 задач Анализ задачного материала темы «Квадратные уравнения» По характеру требований Составить квадратное уравнение по указанным коэффициентам 411 Указать коэффициенты квадратного уравнения , Решение уравнений выделением квадрата двучлена Решение квадратных уравнений по формуле По сложности (I, II, III уровни) По способу решения По дидактической цели I Устно Отработка определения квадратного уравнения I Устно Отработка определения квадратного уравнения I , II I , , II , III , Решение задач I II III Решение неполных квадратных уравнений I II III Применение формул сокращенного умножения Нахождение дискриминанта и корней уравнения (по формуле I и II) Решение задач уравнением Применение алгоритма решения Отработка определения квадратного уравнения Отработка нахождения коэффициентов квадратного трехчлена, приведения уравнения к стандартному виду, отработка действий по закреплению формул нахождения корней. Отработка навыка составления уравнений по условию задачи, отработка формул нахождения корней полного квадратного уравнения Отработка умения определять вид

12 , , Решение задач I II III Решение уравнений Решение уравнений с параметром Разложение квадратного трехчлена на множители I II , II III I II III неполных квадратных уравнений Решение задач уравнением Решение уравнений с помощью теоремы Виета Решение уравнений с помощью теоремы Виета Разложение квадратного трехчлена на множители с использованием формулы, сокращение дробей уравнения и способа его решения Отработка умения составлять уравнение по условию задачи, отработка алгоритмов решения неполных квадратных уравнений Отработка навыка применения теоремы Виета Отработка умения составления системы уравнений с применением теоремы Виета Отработка умения раскладывать на множители квадратный трехчлен, сокращать дроби

13 13 ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме 3. Таблица целей обучения квадратных уравнений В ходе работы над проектом в рамках ФГОС ООО был разработан полезный материал как для учителя так и для ученика карта изучения темы «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8 класса (таблица 2). Эта карта вывешивается на стенде для знакомства учащихся с этапами ознакомления темы, где указаны уровни обучения теме, с которыми ребёнок вправе сам определиться, спланировать свои действия при обучении. Если говорить подробнее, то карта изучения темы включает в себя 8 блоков: 1. Логическая структура и цели изучения темы; 2. Блок актуализации знаний учащихся; 3. Основные понятия, методы, изучаемые в теме; 4. Примеры заданий контрольной работы; 5. Средства обучения теме; 6. Задания для внеурочной самостоятельной работы; 7. Темы индивидуальных заданий; 8. Перечень УУД для освоения темы. Карта составляется учителем перед изучением темы, планируя каждый урок, особенно деятельность учащегося во время формирования знаний и дальнейшего изучения темы.

14 Формулировки обобщенных целей Ц1: приобретение и преобразование УИ; формирование ПУД Ц2: контроль усвоения теории; формирование Ц3: применение знаний и умений Ц4: формирование коммуникативн ых умений Ц5: формирование организационных умений а) сравниваете данные квадратные уравнения по заданным признакам и составляете схему определения понятия данного типа уравнения с использованием учебника; схемы; б) сравниваете решение однотипных уравнений 14 Таблица целей обучения теме «Квадратные уравнения» в 8 классе Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщенная цель Цель считается достигнутой, если Вы на уровнях: первом втором третьем а) составляете схему определения понятия данного типа уравнения с использованием набора объектов; б) выполняете анализ и выявляете необходимые преобразования при помощи; в) обобщаете решение квадратного уравнения, в т.ч. по теореме Виета знаете а) определения квадратного уравнения; общий вид; б) классификацию квадратных уравнений (полные, неполные); в) решение уравнения по формулам и как выполняется проверка; г)решение простейших задач умеете а) выполнять основные преобразования; б) решать квадратные уравнения по формулам и выполнять проверку. знаете а) определения квадратного уравнения и его классификацию; б) способы решения полных и неполных квадратных уравнений и выполняете проверку; в) способы решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений; г)т.виета умеете а) выполнять любые преобразования и решать уравнения 2- ой степени сложности; б) решать текстовые задачи и выполнять проверку; в) приводите примеры а) даёте определение типов квадратных уравнений, распределяете по классам типов; б) выполняете анализ и определяетесь с необходимым набором преобразований; в)составляете приёмы решения уравнений самостоятельно; г)решаете уравнения по теореме Виета знаете а) определения квадратного уравнения и их классификацию; б)способы решения квадратных уравнений и уравнений с параметром; в) теорему Виета и обратную ей; г) приёмы решения текстовых задач на составление уравнения, сводящегося к квадратному умеете а)выполнять все необходимые преобразования и способы решения уравнений 3-го уровня сложности; б)решать текстовые задачи более сложного характера и выполнять проверку, анализируя полученные ответы на своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказываете помощь однокласснику; рецензируете его ответы; организуете взаимоконтроль и взаимопроверку; б) оказываете помощь с выбором методов преобразования и способов решения квадратных уравнений товарищам на предыдущих уровнях; в) готовите сообщение по теме и выступаете с ним; г) составляете карточку для самостоятельной работы по данной теме, предлагаете её товарищу и проверяете решение, анализируя ответы, и разбираете ошибки в ходе решения. в соответствии со своим уровнем освоения темы а) сами выбираете уровень освоения темы; б)выбираете темы для дополнительного изучения; в) выбираете задачи и решаете их; г)осуществляете самопроверку с использованием образцов; д)составляете проверочную работу для своего уровня и проверяете её; е)оцениваете свою итоговую деятельность и делаете выводы о дальнейших действиях. Таблица 1 Средства помощи а) схема определения понятия; б)классификации типов квадратных уравнений 1)приёмы решения квадратных уравнений; 2) схемы и информационные карточки. приёмы контроля и оценки Приёмы саморегуляции УПД

15 15 Карта обучения теме «Квадратные уравнения» в 8 классе Приложение 2 1.Логическая структура и цели изучения темы ( 20 уроков) П.3.1 П.3.1 П.3.2 П.3.2 П.3.2 П.3.2 П.3.3 П.3.3 П.3.4 П.3.4 П.3.4 П.3. 5 П.3.5 П.3.5 П.3.6 П.3.6 П.3.7 П.3. 7 П.3.7 К/р. 3 Ц 1,5 Ц 2-4 Ц 1,5 Ц 2-4 Ц 2-5 Ц 2,3 Ц 1,5 Ц 2-5 Ц 1,2 Ц 2-5 Ц 2-4 Ц 2-5 Ц 2,3 Ц 1,5 Ц 2,3 Ц 1,5 Ц 2-5 Ц 1,2 Ц 2-5 Ц Блок актуализации знаний учащихся Знать: преобразования выражений; формулы сокращенного умножения; свойства уравнений; определения. Уметь: выполнять преобразования; работать по формулам 3. Основные понятия, теоремы, типы задач, методы, изучаемые в теме (Ц1, Ц2) П.3.1 Определение квадратного уравнения,. Приведённое квадратное уравнение П.3.2, 3.3 Формулы для решения квадратного уравнения; Алгоритм решения квадратного уравнения П 3.5. Определение неполного квадратного уравнения П.3.6 Теорема Виета. Теорема обратная т.виета. 4. Задания контрольной работы (Ц3, Ц5) I уровень Балл II уровень Балл III уровень Балл 5. Средства обучения теме 1. Решить уравнения а) x 2 4x + 3=0; б) x 2 + 9x = 0; в) 7x 2 x 8 = 0; г) 2x 2 50 = 0 2. Решите задачу: Длина прямоугольника на 5 см больше ширины, а его площадь равна 36 см 2. Найдите стороны прямоугольника. 3. Определите значения y, при которых верно равенство: y 2 (9y-2)/7 = 0 4. Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число а. x 2 + x a = 0 5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны - 5 и Решите уравнения: a) x 2 + 2x 63 = 0; б) 0,9x 3x 2 = 0; в) 2x 2 5x + 2 = 0; г) x 2 2x 6 = Решите задачу: Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 32 см, а площадь равна 55 см Определите значения y, при которых верно равенство: (y 2 + 6y)/6) (2y+3)/2) = Решите задачу: Один из корней уравнения 2x x + q = 0 на 3 больше другого. Найдите свободный член q. 5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -3 и (1/3) Решите уравнения: а) x 2 + x = 90; б) -4x = 7x2; в) (1/5)x2 + x 10 = 0; г) x 2 + 4x + 5 = Решите задачу: Когда от квадратного листа фанеры отрезали прямоугольную полосу шириной 2 м, площадь листа составила 24м 2. Найдите первоначальную площадь листа. 3. Определите значения x, при которых верно равенство: (x 3) 2 /16) (x 2) 2 /4) = (1 x)/2. 4. Решите задачу: Разность корней уравнения 2x 2 5x + c = 0 равна 1,5. Найдите с. 5. составьте квадратное уравнение, корни которого равны и Информационные схемы понятий: квадратное уравнение; приведённое квадратное уравнение; неприведённое квадратное уравнение; квадратный трёхчлен; полное квадратное уравнение; неполное квадратное уравнение; корень квадратного уравнения; дискриминант квадратного уравнения (квадратного трёхчлена); биквадратное уравнение. 2.Классификационная схема рациональных уравнений 3.Предписания для решения различных типов рациональных уравнений 4.Таблица приёмов саморегуляции при решении рациональных уравнений

16 16 6. Задания для внеурочной самостоятельной работы (Ц2, Ц3, Ц5) 1 уровень (обязательный), 2 уровень, 3 уровень, 402, 413, 410, 419, 429, 447, 475, 01, , 422, 432, 455, 486, 510, , 423, 438, 468, 488, 515, Темы индивидуальных заданий (Ц4, Ц5) Теорема Виета, Франсуа Виет, биография французского математика. Старинные задачи на указанную тему. 8. Перечень УУД для освоения темы (Ц1 Ц5) Познавательные УУД Регулятивные УУД Коммуникативные УУД Личностные УУД Сравнение, обобщение, анализ материала; составление схемы определения понятия; постановка и решение проблемы Выбор и принятие целей, составление плана, самоконтроль, самооценка, приёмы саморегуляции Взаимоконтроль, взаимопроверка, умение слушать, выступать, рассуждать по теме, рецензировать Рефлексия собственной деятельности

17 17 4. Средства обучения В процессе обучения теме «Квадратные уравнения» используются разнообразные средства обучения: дидактические материалы, справочники, таблицы, карточки, учебники, схемы, презентация и др. Они составляют единый комплекс, основой которого является учебник алгебры, и предназначены для лучшего усвоения курса алгебры, служат целям формирования УУД. Классификация уравнений Рациональные уравнения дробные целые 1- й степени 2-й степени биквадратные другие линейные квадратные приведённые неприведённые полные неполные ax 2 +bx +c = 0 b = 0 с = 0 b = 0 и с = 0 ax 2 +c = 0 ax 2 +bx = 0 ax 2 = 0 Общий приём саморегуляции при решении уравнений Приём выполнения заданий типа: Рефлексия (и принятие решить уравнение решения о помощи) 1) определить тип уравнения Знаю ли я типы уравнений? 2) определить стандартное оно или нет Знаю ли я стандарты? а) если стандартное, то к п.3. б) если нестандартное, то к п.4 3) решить в соответствии со стандартом: Знаю ли я как решать а) если решение выполнено, то к п.6 стандартные уравнения? б) если решение не выполнено, то к п.4

18 Уравнение ax 2 + bx + c = 0, 18 где a 0, называется квадратным уравнением. Выделив полный квадрат, получим уравнение или 4) Выяснить, какие преобразования нужно выполнить, чтобы свести уравнение к стандартному виду ( при то необходимости отсюда следует, что выполнить анализ левой и правой частей уравнения) 5) выполнить эти преобразования если задание выполнено, то к п.6; если задание не выполнено, то к п.1; Знаю ли я три группы преобразований? Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета). Если Полезно указать номер соответствующего свойства при переходе от одного уравнения к другому Знаю ли я что такое посторонний корень? 6) проверить, не является ли корень посторонним 7) сделать проверку Знаю ли я как делать проверку? 8) записать ответ Предписание для решения квадратных уравнений по формуле Предписание для решения приведенного квадратного уравнения по теореме Виета х²+рх+q=0, Рисунок где x 1 и x 2 корни, Алгоритм поиска корней квадратного уравнения. то x 1 + x 2 =-р x 1 * x 2 =q Предписание для решения неполного квадратного уравнения если ax 2 +c = 0 ax 2 = - с x 2 = <0, то нет корней; ax 2 +bx = 0 х (ах+b) = 0 x 1 = 0, x 2 = ax 2 = 0 x = 0 x 1 = x 2= -

19 уроков 1 Какие уравнения называются квадратными 2 Какие уравнения называются квадратными 3 Формула корней квадратного уравнения Фрагмент поурочного планирования учебной программы по математике Тема урока Тип урока Решаемые учебные задачи Предметные результаты Метапредметные результаты Изучение новой Приобретение и Ц 1: приобретение учебной Ц 5: введение в тему, учебной преобразование УИ; информации и развитие постановка и информации формирование ПУД, интеллектуальных умений формулирование целей организационных умений при изучении понятий, своей учебной (ц.1,5) теорем, типов задач деятельности; развитие организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД) Применение Контроль усвоения теории, Ц 2: контроль усвоения Ц 4: развитие знаний применение знаний и умений; теоретических знаний; коммуникативных умений формирование Ц 3: применение знаний и через: включение в коммуникативных умений интеллектуальных умений групповую работу; (ц.2-4) при решении уравнений; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД Изучение новой Ц 1 Ц 5 учебной информации 4 Формула корней квадратного уравнения Применение знаний Приобретение и преобразование УИ, формирование организационных умений (ц.1,5) Контроль усвоения теории, применение знаний и умений; формирование коммуникативных умений (ц.2-4) 5 Формула корней Комбинированный Контроль усвоения теории, Ц 2 Ц 4 Ц 2 Ц 3 Ц 4

20 20 квадратного уравнения 6 Вторая формула корней квадратного уравнения 7 Вторая формула корней квадратного Изучение новой учебной информации Применение знаний уравнения 8 Решение задач Изучение новой учебной информации 9 Решение задач Применение знаний применение знаний и умений; формирование коммуникативных и организационных умений (ц.2-5) Приобретение УИ, формирование ПУД; контроль усвоения теории (ц.1,2) Контроль усвоения теории; применение знаний и умений; оценка Приобретение УИ, формирование ПУД; контроль усвоения теории (ц.1,2) Усвоение теории; применение знаний и умений; формирование коммуникативных и организационных умений (ц.2-5) 10 Решение задач Комбинированный Контроль усвоения теории; применение знаний и умений; оценка 11 Неполные квадратные уравнения 12 Неполные квадратные уравнения Изучение новой учебной информации Применение знаний Приобретение и преобразование УИ; формирование ПУД, организационных умений (ц.1,5) Усвоение теории; применение знаний и умений; Усвоение теории; применение знаний и умений; формирование коммуникативных и организационных умений Ц 3 Ц 1 Ц 5 Ц 2 Ц 3 Ц 4 Ц 1 Ц 5 Ц 2 Ц 3 Ц 2 Ц 3 Ц 4 Ц 4 Ц 5 Ц 1 Ц 5 Ц 2 Ц 3 Ц 4 Ц 5

21 21 13 Неполные квадратные уравнения 14 Теорема Виета Изучение новой учебной информации (ц.2-5) Комбинированный Контроль усвоения теории; применение знаний и умений; оценка Приобретение и преобразование УИ; формирование ПУД, организационных умений (ц.1,5) Ц 2 Ц 3 Ц 4 Ц 1 Ц 5 15 Теорема Виета Применение знаний 16 Разложение Изучение новой квадратного трехчлена учебной на множители информации 17 Разложение квадратного трехчлена на множители Применение знаний Усвоение теории; применение знаний и умений; Приобретение УИ, формирование ПУД; контроль усвоения теории (ц.1,2) Применение знаний и умений; формирование коммуникативных умений; формирование организационных умений Ц 5 Ц 1 Ц 5 Ц 2 Ц 3 Ц 4 18 Разложение квадратного трехчлена на множители 19 Контрольная работа Урок контроля знаний Комбинированный Применение знаний и умений; формирование коммуникативных умений; формирование организационных умений Ц 2 Ц 3 Оценка усвоения материала Ц 2 Ц 3 Ц 4 Ц 4 20 Урок коррекции и рефлексии Комбинированный Оценка усвоения материала Ц 2 Ц 5 Ц4

22 22 Внеурочная самостоятельная деятельность: I. Темы для подготовки рефератов, выступлений на конференцию, математический вечер, декаду математики и др.: по итогам изучения курса за четверть, за 1-е полугодие, за год (см. Карту темы) II. Тематика долгосрочных проектов по теме (разделу)

23 23 6. Фрагменты уроков по теме «Квадратные уравнения» Работая по Стандартам второго поколения, мы должны перестроить свой урок. Ученику не дается готовый материал, а создается такая ситуация на уроке, где ребёнок должен Сам: сам задать и ответить на вопрос: «Зачем ему это надо? Зачем ему этот материал?»; сам, сталкиваясь с проблемой, находить пути её решения и средства, с помощью чего он их достигнет. Учитель на уроке выступает уже в роли помощника, наталкивая на ту или иную деятельность. Поэтому современные уроки могут содержать постановку проблемы; возможные пути её решения, чтобы ученик сам определялся с дальнейшими действиями; схемы, классификацию понятий, задания на соотнесение; задания и действия, условия, которые заставляли учащегося мыслить. В проекте «Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся 8 класса теме: «Квадратные уравнения» представлены фрагменты двух уроков, которые можно использовать на своих уроках по данной теме. Тема: Формула корней квадратного уравнения Тип урока: урок применения знаний Учебная задача: отработка открытого способа решения квадратных уравнений Цели урока: Образовательная: Учащиеся распознают из квадратных уравнений полные квадратные уравнения, неполные квадратные уравнения, приведенные квадратные уравнения, должны знать формулу для нахождения корней квадратного уравнения общего вида. Развивающая: Учащиеся умеют выводить эту формулу и применяют ее на практике при решении различных квадратных уравнений. Воспитательная: Учащиеся понимают значимость данной формулы для решения квадратных уравнений, задач. Отличие данного урока от урока закрепления знаний и умений учащихся. Данный урок отличается тем, что учащиеся сами предлагают задание для отработки материала, прогнозируют все возможные случаи, выделяют сложные моменты. Проводят логические рассуждения, делают обоснованные выводы. На таких уроках воспитывается творческая личность. На традиционных уроках вся нагрузка по отработке решения квадратного уравнения по формуле, ложится на учителя. Он сам подбирает задания, сам предлагает способы решения уравнений, сам обращает внимание на ошибки и устраняет их. Конечно, формулу ученики выучат, но запоминается прочнее то, что открыто самим человеком. I.Мотивационно-ориентировочная часть Цель: создать ситуацию успеха, актуализировать знания, необходимые для дальнейшей работы, способствовать выравниванию знаний. - Попросить учащихся назвать тему урока, которую зафиксировали на предыдущем уроке. (Решение квадратных уравнений по формуле) - Далее определяем, с чего должны начать урок. (С анализа полученной формулы).

24 24 - Предложить ученикам выписать на доске квадратное уравнение общего вида ах 2 + bx + c = 0, а 0 и формулы 1,2,3 2 b b 4ac x1,2 (1), D= b 2 b D -4ac (2), x1,2 (3) 2a 2a - Повторить этапы получения формулы Записали уравнение общего вида. 2. Разделили обе части уравнения на а, а 0. Получили приведенное квадратное уравнение. 3. Выделили квадрат двучлена и получили два корня. 4. Объединили два ответа в один и получилась формула. - Выяснить, для чего это мы делали. (Чтобы упростить решение квадратных уравнений, т.к. способ выделения квадрата двучлена, не всегда удобен при решении квадратных уравнений). -Повторить словесную формулировку формулы 1. Применить формулу на примере. Например: 4х 2-7х+3=0 1) b=-7, 2) -b=7, 3) b 2 =49, 4) 4ac: 4 4 3=48, 5) 2a: 2 4= 8 -Повторить от чего зависит количество корней квадратного уравнения (От дискриминанта. Формула дискриминанта записана на доске под номером 2.) -Предложить ученику записать на доске кратко 1) D >0 (2 корня), 2) D=0 (1 корень), 3) D<0 (уравнение действ.корней не имеет) - Уточняем, что на данном уроке нужно отработать формулу 1, т.е научиться решать квадратные уравнения по формуле 1. - Вспомнили, что на предыдущем уроке решали уравнения, где коэффициенты a, b, c это числа, которые могут быть целыми, обыкновенными дробями, десятичными дробями, иррациональными числами. -Выбираем способ работы (работаем всем коллективом). Ученик у доски решает квадратное уравнение с целыми коэффициентами (уравнение 1), коэффициенты придумывают сами: 1) 3х 2 +7х+2=0 a=3, b=7, c= x 1, x 1, x 1, x x ) х 5 х 4 0 a= 2 1, b= 5, c= ( 4) x 2 1, x 1,2 1 x 5 33, x Уравнение 2 можно решить по-другому. Спросить как это можно выполнить. (Умножить обе части уравнения на 2. Получим более простое уравнение: х 2 +10х-

25 25 8=0.) Обратить внимание на то, что второй способ приведет к более длинному решению (предложить убедиться в этом дома). 1) 2х х 1=0 4 2) 0,5х 2 -х-3=0 4 Предложить учащимся самим 8х 2 -х-4=0 выбрать способ решения а=8, b=-1, с=-4 уравнения: ( 1) 1 48( 4) 1. Применяя сразу формулу. x 1, Сначала упрощаем уравнение, умножая обе части уравнения x 1,2 16 на число 2, затем решаем В том и другом случае получаем x 1, x корни: х 1 =1+ 7, х 2 =1-7 -Предложить сделать вывод после решения уравнения 3: Прежде чем решать уравнение, проанализируй его коэффициенты. x 1,2 5) 2х х-5=0 a=2, b= 3, c=-5 x 1, ( 5) x x 1, После завершения решения уравнения 5, выполнить анализ решенных уравнений. -Что общего у всех этих уравнений? (Все рассмотренные уравнения имеют 2 различных корня, т.е. мы рассматривали уравнения, у которых D>0). -Какие случаи с дискриминантом нужно еще рассмотреть? (D=0, D<0) -Обсудить с чего начать рассмотрение оставшихся двух случаев. 1) Подбираем a, b, c. Пусть a=3, b=7, c=12. Определяем чему равен D. D= =-95<0. Итак, получили уравнение 3х 2 +7х+12=0, которое не имеет действительных корней. Фактически мы составляли квадратное уравнение по заданным коэффициентам. 2) Подбираем a, b, c. Пусть a=4, b=4, c=1. Определяем чему равен D. D= =0. Итак, получили уравнение 4х 2 +4х+1=0, которое имеет один корень или корень кратности 2, т.е. х= После завершения работы над решением уравнений сделать вывод: Формула для нахождения корней квадратного уравнения универсальна. Она позволяет найти корни любого квадратного уравнения. III. Рефлексивно-оценочная часть Подведение итогов урока:

26 26 Какова цель нашего урока? (Отработать формулу для нахождения корней квадратного уравнения, которую получили на прошлом уроке) Удалось ли достигнуть поставленной цели? (Да, цель достигнута) Отработана ли данная формула? (Да, выполнили много заданий на отработку полученного способа. Рассмотрели различные способы решения квадратных уравнений) Готовы ли к самостоятельной работе на следующем уроке? (Можно провести самостоятельную работу без плохих оценок, (здесь имеется в виду самостоятельная работа обучающего характера). Предложили на следующем уроке продолжить отработку открытого способа. Работа индивидуальная. Домашнее задание (дифференцированно): 1. Для слабых и средних учащихся задания из учебника из обязательного уровня. 2. Для сильных учащихся : 1.Составить 6 уравнений на случаи, по два уравнения на каждый случай: а) уравнение имеет 2 корня, б) уравнение имеет один корень, в) уравнение не имеет корней. 2. Написать сочинение на тему «Что я узнал о квадратном уравнении?» (на выбор) Тема: Неполное квадратное уравнение Тип урока: изучение новой учебной информации Цели: формировать представления о квадратном уравнении и его коэффициентах, полном квадратном уравнении, неполном квадратном уравнении, приведённом квадратном уравнении, корне квадратного уравнения; формировать умения решать неполные квадратные уравнения Ход урока I. Актуализация знаний. Из данных уравнений выбрать квадратные. а) x 2 1 = 0; б) x 3 + 2x 1 = 0; в) 1 1 0; x г) 3x = 0; д) 2x 2 5x + 6 = 0; е) 7x x = 0. ж) 2x 2 + 3x 5 = 0; з) x 2-4x + 1 = 0; и) 3x 3 + 2x 2 + x = 0; к) 5x 3x = 0; л) x + 3 = 0; м) 3 5x 2 x = 0; 2 x 3x 4 0; н) 2 о) 7x 2 x 2 = 0; п) 16 х 2-9 = 0; р) 3 х 2 12х = 0; с) 6 х 2 = 0; т) х 2 10 = 0. II. Изучение нового материала. 1.Все понятия вводятся по схеме: а) ближайшее родовое понятие; б) первое видовое отличие;

27 27 в) второе видовое отличие и т.д. n) последнее видовое отличие Понятие «Квадратное уравнение»: Ближайшее родовое понятие уравнение Видовое отличие стандартный вид. Учащиеся, работающие на 2-3 уровнях составляют схемы определений понятий Квадратное уравнение: 1) уравнение И 2) стандартный вид : ax 2 +bx +c = 0, a,b,c-числа (a 0), x-переменная 2.Задание: разделите квадратные уравнения, записанные на доске на две группы, выпишите их в 2 столбика, приводя к виду ax 2 +bx +c = 0 и укажите старший коэффициент, второй коэффициент, свободный член. 2x 2 5x + 6 = 0 x 2 1 = 0; x 2 +7x+ 3 = 0 16 х 2-9 = 0; 2x 2 + 3x 5 = 0 3 х 2 12х = 0 x 2-4x + 1 = 0 6 х 2 = 0; 3x 2 +5x+ 2 = 0 х 2 10 = 0. 5x 2 x+3 = 0 2-3х + 4 = 0 x 2 +7x 2 = 0; 1. По каким признакам вы разделили уравнения на две группы? Вводятся понятия Полное квадратное уравнение: 1)квадратное уравнение И 2) b 0 И 3) с 0 Неполное квадратное уравнение: 1) квадратное уравнение И 2) b = 0 ИЛИ 3) с = 0 ИЛИ 4) b = 0 и с = 0 Приведённое квадратное уравнение: 1) квадратное уравнение И 2) старший коэффициент a=1

28 Какие преобразования нужно сделать, чтобы квадратное уравнение стало приведённым? Выполните их. 3.Вводится понятие корня квадратного уравнения Корень квадратного уравнения: 1) значение переменной х, И 2) при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство (0 = 0 ) 28 Рассматриваются три вида неполных квадратных уравнений: ax 2 + c = 0 ax 2 + bx = 0, ax 2 = 0, и способы их решения. x 2 1 = 0; x 2 x = 0; 3 х 2 = 0; x 2 = 1; x(x 1) = 0; х =0 x 1, 2 = ±1. x 1 = 0, x 2 = 1. Сильным учащимся предлагается составить памятку предписание для решения неполных квадратных уравнений III. Закрепление нового материала. 1) Составьте квадратное уравнение, у которого а) старший коэффициент равен 1, коэффициент при х равен -1; б) старший коэффициент равен, коэффициент при х равен -3, свободный член равен 1 ; в) старший коэффициент равен 6, а свободный член равен 3,5; г) старший коэффициент равен -, коэффициент при х равен 4, свободный член равен -4 ; Дополнительное задание: какие из полученных уравнений являются приведёнными? Какое преобразование надо выполнить для того, чтобы неприведённое квадратное уравнение стало приведённым? Выполните это преобразование. 2) При каких значениях параметра р уравнение (2р-3) х 2 + (3р-6)х +р 2 = 0 является: а) приведённым квадратным уравнением; а) неполным неприведённым квадратным уравнением; а) неполным приведённым квадратным уравнением; а) линейным уравнением? 3) Для какого из данных уравнений корнями являются числа 1, 3, 2: а) x 2 4x + 3 = 0; б) 5x x 2 6 = 0; в) x 2 5x + 6 = 0.

29 4) Определить, какие из данных уравнений не имеют корней: а) x 2 9 = 0; б) 3x + 2,1 = 0 29 в) x 2 = 0; г) (x 2) = 0; д) (x 9) 2 = 0; е) (x + 1) 2 4 = 0. В ходе этого урока формируются познавательные, регулятивные, коммуникативные УУД. При формировании познавательных УУД происходит переработка учебной информации, которая представляется в виде математической модели. Поэтому способность применения УИ и ее моделирование заставляет запомнить полученную информацию и в дальнейшем ею пользоваться. Также здесь уместно говорить об использовании регулятивных УУД, таких как оценивание правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки и коммуникативных УУД, так как в ходе урока учащимся приходится пользоваться введёнными понятиями, т.е.они участвуют в диалоге, формируется умение построения речевых высказываний, аргументированного ответа на поставленные вопросы. По мере усложнения предлагаемых заданий, учащимся приходится планировать сотрудничество с учащимися, находящихся на предыдущих уровнях. 7. Исторические сведения по теме «Квадратные уравнения» Квадратные уравнения - это одно из основных направлений изучения линии управления в школьном курсе алгебры. Изучение теоремы, алгоритмы решения квадратных уравнений применяют для познания естественных законов, для решения задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Овладевая способами их решения, они находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт), сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). Решение таких задач развивает логическое мышление, творческую деятельность учащегося. Необходимость решать уравнения 2-ой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математички. Квадрат уравнения - умели решать около 200 лет до нашей эры вавилоняне. Правила решения квадратных уравнений изложенных в вавилонских текстах, совпадают по существу с современными. В "Арифметике" Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится решение задач, при помощи составления квадратных уравнений. Для составления уравнений Диофант умело выбирает неизвестно. Вот, к примеру; "Найти два числа, значит что сумма их равна 20, а произведение равно 96." Диофант рассуждает следующим образом: "из условия вытекает, что искомые не равны, т.к. если бы они были равны то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше полвины их суммы, т.е. 10+х. Другое же меньше, т.е. 10- х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

30 30 (10+х)(10-х)= х 2 =96 х 2-4=0 х=2 отрицательные корни не рассматривались тогда, т.к. греческая школка знала только положительные числа). Значит, одно из искомых чисел 12, другое 8. В алгебраическом тракте Аль - Хорезми дается классификация квадратных уравнений: 1. Квадраты равны корням, т.е. ах 2 = вх 2. Квадратные равны числу, т.е. ах 2 = с 3. Корни равны числу, т.е. ах = с 4. Квадранты и числа равны корнем, т.е. ах 2 + с = вх 5. Квадраты и корни равны числу, т.е. ах 2 + вх =с 6. Корни и числа равны квадратам, т.е. вх +с = ах 2 Аль - Хорезми дает и способы решения выше указанных уравнений. При решении полных квадратных уравнений автор на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем из геометрического доказательства.

31 31 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В чем же состоит отличие новых образовательных Стандартов от ныне действующих? Чем будет отличаться деятельность ученика и учителя? Принципиальное отличие новых Стандартов заключается в том, что целью является не предметный, а личностный результат. Важна, прежде всего, личность самого ребенка и происходящие с ней в процессе обучения изменения, а не сумма знаний, накопленная за время обучения в школе. В качестве основного результата образования выступает овладение набором универсальных учебных действий, позволяющих ставить и решать важнейшие жизненные и профессиональные задачи. Прежде всего, в зависимости от задач, с которыми предстоит столкнуться непосредственно школьнику и выпускнику во взрослой жизни, и разрабатывался новый образовательный Стандарт. В первую очередь это касается сформированности универсальных учебных действий. Овладение УУД дает учащимся возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений на основе формирования умения учиться. Эта возможность обеспечивается тем, что УУД это обобщенные действия, порождающие мотивацию к обучению и позволяющие учащимся ориентироваться в различных предметных областях познания. Результат образования, прописанный в стандарте, дифференцированный. Базовый, обязательный уровень описан в блоке «Выпускник научится». Таким образом, каждый ученик сам для себя выбирает уровень достижения результатов. При работе над своим проектом, учитывая новые требования, я выявляла теоретические основы обучения теме «Квадратные уравнения», выполняла отбор средств обучения, находила возможную проблемную ситуацию, которую можно было бы поставить перед учащимися на уроках. Работая над этой темой, была разработана карта целей, карта изучения темы, которая включает в себя разноуровневую работу. Была составлена схема уравнений, алгоритм решения квадратного уравнения, по которым на уроках ребятам планируется дать анализ во фронтальной работе, выполнить классификацию по признакам. То есть еще раз из урока в урок формировать их коммуникативные умения, их умения сравнивать и проводить анализ, делать выводы. Был составлен и фрагмент тематического планирования, фрагменты уроков, где акцент делается на формирование тех требований, что прописаны в Стандартах. Из исследований известно, что учащиеся удерживают в памяти: - 10% от того, что они читают; - 26% от того, что они слышат; - 30% от того, что они видят; - 50% от того, что они видят и слышат; - 70% от того, что они обсуждают с другими; - 80% от того, что основано на личном опыте; - 90 % от того, что они говорят (проговаривают) в то время, как делают; - 95% от того, чему они обучаются сами. Поэтому сейчас большой акцент должен делаться всё же на различные виды деятельности, которыми должен овладеть школьник. Не просто читать, а читать и проговаривать, рассуждать и соотносить, приводить примеры; не просто

32 32 показывать, а рассказывать и анализировать, а лучше дать самому сделать презентацию, схему, составить ход решения, план своих действий, найти сообщения и выступать с этим перед одноклассниками, перед аудиторией. Именно деятельность, а не просто совокупность неких знаний определена Стандартом как главная ценность обучения. В условиях, когда объем информации удваивается, как минимум каждые пять лет, важно не просто передать знания человеку, а научить его овладеть новым знанием, новыми видами деятельности. Это принципиальное изменение.