Системы образующих. Циклические группы

элементов из пересечения всех этих подгрупп лежит в каждой из них.

а поэтому и в их пересечении. Это же верно и для обратных элементов.

Пересечение любого множества подгрупп группы G само является,

следовательно, подгруппой этой группы. Так, пересечением всех под-

подгрупп группы G будет, очевидно, единичная подгруппа Е.

Пусть М — произвольное непустое подмножество группы G. Пере-

Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы множества

М,— одной из этих подгрупп являет$ся, конечно, сама группа G,—

называется подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается

символом . Она содержится, очевидно, во всякой подгруппе группы G,

содержащей целиком множество М.

$Если подмножество-М состоит из одного элемента а, то порожденная

им подгруппа называется циклической подгруппой элемента а. К под-

подгруппе принадлежат, конечно, все степени элемента а; но эти степени

сами составляют подгруппу, так как произведение элементов ап и ат

равно ап+т, а обратным для элемента ап является элемент а

Отсюда следует, что циклическая подгруппа состоит из всех степеней

эл$емента а. Это показывает, что циклическая подгруппа будет счет-

счетной, если а есть элемент бесконечного порядка, и конечной при кон$ечном

порядке элемента а; в этом последнем случае порядок подгруппы

равен порядку элемента а.

Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп,,

т. е. состоящая из степеней одного из своих элементов, называется

циклической группой. Элемент, из степеней которого составлена данная

циклическая группа, называется образующим элементом этой группы. Всякая

циклическая группа, очевидно, коммутативна.

Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная

группа целых чисел — ее образующим элементом является число 1Г

$ примером конечной циклической группы порядка п —

мультипликативная группа корней м-й степени из единицы, п = 1, 2, … Следующая теорема показывает, что этими примерами исчерпываются по существу

.все циклические группы.

Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; изо$-

изоморфны между собой также все конечные циклические группы данного

Действительно, бесконечная циклическая группа с образующим

элементом а взаимно однозначно отображается на аддитивную группу

целых чисел, если всякому элементу ah ставится в соответствие число k-r

$изоморфизм этого отображения следует из того, что при перемножении

степеней элемента а показатели складываются. Аналогичным путем полу-

получается изоморфное отображение всякой циклической группы порядка п

на группу корней п-й степени из единицы.

Эта теорема позволяет говорить в дальнейшем* просто о бесконечной

$ циклической группе или о циклической группе порядка п.

Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Действительно, пусть G = есть циклическая группа с образую-

образующим элементом а, бесконечная или конечная порядка п, и пусть Н будет $

отличная от Е подгруппа из G. Пусть, далее, наименьшая

положительная степень элемента а, содержащаяся в Н, есть ah. Тогда ?= Н.

Допустим, что в Н содержится также элемент а1, I =? 0 и I не делится

на к. Тогда, если (к, I) = d, d > 0, есть общий наибольший делитель-

чисел к и I, то существуют такие целые числа и и v, что ки + lv = dr

и, следовательно, в Н должен содержаться элемент

В бесконечной циклической группе с образующим элементом а в

качестве образующего элемента м$ожно взять также элемент а-1;

циклическая подгруппа, порожденная любой другой степенью элемента а,

отлична от всей группы. В циклической группе порядка п в качестве

образующего элемента можно взять элемент ak, 0

тогда, если кип взаимно просты. Действительно, если (к, п) = 1, то-

существуют такие и и v, что

(ah)u $= a1-nv = a-a-nv = a.

Если, с другой стороны, при некотором к будет (ak)s = а, то разность

показателей ks — 1 должна делиться на п (см. § 3):

$ откуда ks — nq = 1, т. е. (к, п) — 1.

Если М — снова произвольное подмножество группы G, то, как

и в случае циклических подгрупп, легко указать закон, по которому

элементы подгруппы изображаются через элементы множества М.

Подгруппа должна содержать положительные и отрицательные-

степени всех элементов из М, а поэтому и всевозможные произведения

любого конечного числа этих степеней, взятых в произвольном порядке.

Но все элементы группы G, представимые в виде произведения конечного-

$числа степеней элементов из М,— хотя бы и многими различными,

способами,— сами образуют, очевидно, подгруппу группы G, со$держащую — все элементы из М. Этим доказано, что подгруппа, порожденная

множеством М, состоит из всех элементов группы, равных произведениям

конечного числа степеней элементов множества М.

Если, в частности, дано некоторое множество подгрупп группы G

и если М есть теоретико-множественная сумма этих подгрупп, т. е.

множество, состоящее из элементов группы G, входящих хотя бы в одну

из заданных подгрупп, то подгруппа является минимальной под-

подгруппой группы G, содержащей все эти подгруппы. Эта подгруппа

называется подгруппой, порожденной заданными подгруппами,$ и

обозначается символом , a?N, если заданы подгруппы Аа, где а пробе-

пробегает некоторое множество индексов N; в частности, если заданы лишь

две подгруппы А и В, то подгруппа обозначается символом ,

и т. д. Из сказанного выше следует, что подгруппа, порожденная

$некоторым множеством подгрупп группы G, состоит из всех элементов

группы, равных произведениям конечного числа элементов, взятых в заданных

Если подгруппа , порожденная в группе G некоторым ее

подмножеством М, совпадает с самой группой G, то множество М называется

системой образующих элементов или просто системой образующих этой

$группы. Всякая группа обладает системами образующих — достаточно

взять множество всех элементов группы или множество всех элементов,

кроме 1. Из сказанного выше о подгруппе, порожденной некоторым

множеством, следует, что множество М тогда и только тогда будет системой

$• образующих группы G, если всякий элемент из G может быть записан

хотя бы одним способом в виде произведения конечного числа степеней

• система образующих М называется неп$риводимой, если никакая ее истин-

истинная подсистема уже не является для G системой образующих. [См. Д.1.З.]

Примеры. 1. Всякая циклическая группа обладает системой

образующих, состоящей из одного элемента, а именно, из образующего

элемента этой группы. Обратно, всякая группа с одним образующим эле-

элементом является циклической. Заметим, что в циклической группе можно

обычно выбрать также неприводимые системы образующих, состоящие

• более чем из одного элемента. Так, систему образующих для аддитивной

$группы целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.

2. В § 4 было отмечено, что всякая подстановка п-ж степени являет-

является произведением транспозиций. Отсюда следует, что одной из систем

образующих симметрическо$й группы и-й степени будет множество всех

транспозиций, содержащихся в этой группе. Симметрическая группа п-ш

-степени может быть порождена также двумя образующими элементами:

а = A 2), b = A 2 … п).

(/, /-1) … (i + 2, i + l)(i, i + l)(i + l, i + 2) … ( у -1,/) = (*/),

т. е. подгруппа содержит все транспозиции и поэтому совпадает

«о всей симметрической группой. 3. Числа

i, 2 , 6 , 24 , • . л, , …

составляют систему образующих для аддитивной группы рациональных

чисел R. Легко видеть, что всякое бесконечное подмножество этого

множества также будет системой образующих для R. Бо$льше того, можно

$доказать, что аддитивная группа рациональных чисел R не имеет ни

одной неприводимой системы образующих. Действительно, пусть М есть

некоторая система образующих для R и пусть а есть произвольный эле-

элемент из М. Обозначим через Н подгруппу, порожденную множеством М’,

состоящим из всех элементов множества М, кроме а; множество М’ не

может быть пустым, так как иначе все рациональные числа были бы

кратными числу а, что невозможно. Если Ъ есть произвольный элемент

из М’, то из свойств рациональных чисел следует существование такого

целого числа к, отличного от нуля, что число ка будет уже кратным числу $

Ь, и поэтому будет содержаться в подгруппе Н. Число -г- а, принадлежащее

к группе R, может быть записано в виде суммы конечного числа

рациональных чисел, кратных некоторым числам из М, т. е. может быть пред-

представлено в виде

где s есть некоторое целое число, равное, быть может, нулю, а Л —

некоторый элемент из подгруппы Н. Отсюда

$т. е. а содержится в Я и поэтому Н = R. Множество М’ является,

следовательно, системой образующих для группы R.

4. Мультипликативная группа положительных рациональных чисел

обладает неприводимой системой образующих, состоящей из всех про-

Если группа G обладает системой образующих, состоящей из

конечного числа элементов, то G называетс$я группой с конечным числом

образующих. Таковы, очевидно, все конечные и все циклические группы.

Пример бесконечной циклической группы показывает, что из конечно-

конечности числа образующих не следует конечность самой группы.

Всякая система образующих группы с конечным числом образующих

содержит конечное подмножество, являющееся неприводимой системой

образующих этой группы.

Так как конечная система образующих всегда может быть сделана

$неприводимой путем удаления лишних элементов, то нужно лишь дока-

доказать, что при наших предположениях всякая бесконечная система

образующих содержит конечное подмножество, также являющееся системой

$образующих для рассматриваемой группы. Пусть G есть группа с

образующими аи а2, ¦ ¦ ., ап,

и пусть М есть некоторая другая система образующих этой группы.

Всякий элемент at, i = 1, 2, . . ., га, записывается в виде произведения

$степеней конечного числа элементов из М. Выбирая для каждого

щ одну из таких записей и собирая те элементы из М, которые входят в эти записи для i = 1, 2, . . ., га, мы получим конечное подмножество

М’ из М, порожденная которым подгруппа содержит все элементы

at, а2, . . ., ап и поэтому совпадает с G.

Заметим, что различные неприводимые системы образующих группы

с конечным числом об$разующих могут содержать, вообще говоря, раз-

различное число элементов (см. пример 1).

Всякий гомоморфный образ группы с конечным числом образующие

сам является группой с конечным числом образующих. Действительно, если

G = и если гомоморфизм ф отображает группу G на

$ группу G, то элементы

составляют для G систему образующих. В самом деле, если а —

произвольный элемент из группы G и а — один из его прообразов в группе G,

то а так же записывается через степени элементов A), как а — через

степени элементов ац, а2, • ¦ •, ап. Некоторые из элементов A) могут,

конечно, совпадать, т. е.$ мы получим для группы G систему образующих

с повторениями. Эти повторения можно было бы исключить. Мы

условимся, однако, и в будущем допускать к рассмотрению системы образую-

образующих с повторяющимися элементами.

Всякая бесконечная группа с конечным числом образующих являет-$

Действительно, если элементы а4, а2, . . ., ап являются образую-

образующими для группы G, то всякий элемент этой группы может быть записав

в виде произ$ведения

(вообще говоря, многими различными способами); всякое i^ есть одно-

из чисел 1, 2, . . ., п, причем возможно, что ik = i; при кф1. Будем

называть длиной этого произведения сумму абсолютных величин пока-

Легко видеть, что существует лишь конечное число произведений степе-

$ степеней образующих элементов а±, а2, . . ., ап данной длины h. Множество