моп / 35. Метод приведенного градиента

Метод приведенного градиента (МПГ) основан на сокращении размерности задачи с помощью представления всех переменных через множество независимых переменных. Впервые его предложил Вульф в (1963) для задач выпуклого программирования с линейными ограничениями. Позднее этот метод был обобщен на случай нелинейных ограничений. Итак, рассмотрим следующую задачу:

где A - матрица порядка mn ранга m; Am - m-мерный вектор, а функция f(x) непрерывно дифференцируема. Сделаем следующее предположение о невырожденности матрицы :

Любые m столбцов A линейно независимы, и каждая крайняя точка допустимой области имеет ровно m положительных переменных и не более чем n-m нулевых компонент.

Пусть x - допустимая точка. По предположению о невырожденности матрица A может быть представлена в виде , где - невырожденная матрица , а вектор , где - базисный вектор, а - небазисный вектор. Пусть , где - градиент функции по базисным переменным.

Вспомним, что направление является возможным направлением спуска для функции в точке , если и , если .

Определим возможное направление спуска в данной задаче.

Представим вектор в виде . Заметим, что равенство автоматически выполняется, если для любого положить Обозначим через

r T = [rB T ; rN T ] = f T - Bf T B -1 A = f T - Bf T B -1 [B;H] =

= [0..0; Nf T - Bf T B -1 N] (4)

Необходимо выбрать так, чтобы и если . Введем следующее правило. Для каждой небазисной компоненты положим , если и возьмем , если . Это обеспечивает выполнение неравенства , если . Кроме того, и строгое неравенство имеет место при .

Если , то - возможное направление спуска. Кроме того, тогда и только тогда, когда - точка Куна-Таккера.

Рассмотрим алгоритм приведенного градиента (ПГ) для решения задачи (1)-(3). Предполагается, что любые столбцов линейно независимы.

Начальный этап. Выбрать точку , удовлетворяющую условиям . Положить =1 и перейти к основному этапу.

Основной этап. Первый шаг. Положить , где и получены по формулам (9) - (10) соответственно. Здесь - множество индексов наибольших компонент вектора ,

Если , то остановиться, - точка Куна-Таккера. В противном случае перейти ко второму шагу.

Второй шаг. Решить следующую задачу одномерной оптимизации:

Здесь - -е компоненты векторов соответственно. Положить равным оптимальному и . Заменить k на k+1 и перейти к первому шагу.

Метод обобщенного приведенного градиента (ОПГ) является развитием метода ПГ и его можно использовать для решения задач НП при нелинейных функциях-ограничениях.

Итак, пусть задача НП задана в виде

В методе ОПГ также различают две группы переменных:

а) подмножество базисных переменных ;

б) подмножество небазисных, или независимых переменных . Примем для простоты обозначений . При этом зависимые (т.е. базисные) переменные неявным образом определяются через независимые (небазисные) переменные. Следовательно, - функция независимых переменных. Введем следующие обозначения:

Основная идея метода ОПГ состоит, как и в линейном случае, в том, чтобы сократить размерность задачи путем исключения зависимых (базисных) переменных и применить метод ПГ для определения направления спуска и в качестве критерия при установлении оптимальности.

Укажем способ вычисления обобщенного ПГ. Для этого рассмотрим задачу (13)-(15) и выразим обобщенный ПГ через компоненты градиента и якобиан для ограничений-равенств (14)

Исключим из (17) матрицу . Для этого воспользуемся соотношением

Подставляя (19) в (17), получим выражение для ОПГ, с учетом (16);

Нетрудно увидеть аналогию между выражением (20) и соотношением (4) для ПГ в линейном случае. Действительно, если учесть, что , то . Подставив их в (20), получим полное совпадение выражений (20) и (4).

Алгоритм метода ОПГ начинает работать с допустимой точки . Если же относительно условий задачи не является допустимым, то необходимо ввести искусственные переменные, значения которых постепенно сводят к нулю путем введения в целевую функцию штрафного члена.

Если ОПГ ни на одном из этапов вычислительной процедуры не становится равным нулю, то заменяем текущий вектор на по общей формуле

- определяется путем решения задачи:

минимизировать при условиях .

где - направление оптимизационного поиска на k-й итерации.

Рассмотрим способ определения величин для независимых переменных . Направления поиска для них определяют следующим способом:

или , где - вектор ОПГ.

Если ограничения линейны, то метод совпадает с методом Вульфа.

Пример 1. Минимизировать при условии .

Пусть - независимая (небазисная) переменная, а - зависимая. Найдем величины

Согласно формуле (20) получим следующее выражение для ОПГ:

Итак, двигаясь из любой допустимой точки вдоль ограничения до тех пор, пока не станет равным нулю, выполняем минимизацию f (x) ( рис.1).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.