Даны координаты вершин пирамиды $А_1А_2А_3А_4$.

Найти:1) Найти длины ребер $А_1А_2$; $А_1А_3$; $А_1А_4$. 2) Угол между ребрами $А_1А_2$ и $А_1А_4$. 3) Площадь грани $А_1А_2А_3$. 4) Уравнение прямой $А_1А_2$. 5) Уравнение плоскости $А_1А_2А_3$. 6) Уравнение высоты,опущенной из вершины $А_4$ на грань $А_1А_2А_3$. 7) Угол между ребром $А_1А_4$ и гранью $А_1А_2А_3$ 8) Объем пирамиды. Координаты точек:А1(4;-1;3) А2(-2;1;0) А3(0;-5;1) А4(3;2;-6)

Лучший ответ

Даны координаты вершин пирамиды $А_1А_2А_3А_4$. Координаты точек:А1(4;-1;3) А2(-2;1;0) А3(0;-5;1) А4(3;2;-6)1) Найти длины ребер $А_1А_2;А_1А_3;А_1А_4$.Длину ребер пирамиды (любой фигуры) будем рассматривать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формуле $$d = \sqrt$$подставляем координаты точек в формулу и получаем длины ребер $$А_1А_2 = \sqrt = 7$$$$А_1А_3 = \sqrt = 6$$$$А_1А_4 = \sqrt = \sqrt$$2) Угол между ребрами $А_1А_2$ и $А_1А_4$.Для того чтобы найти угол между ребрами, найдем уравнения прямых этих ребер, а затем угол между прямыми. Уравнения прямых будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $$ \frac = \frac = \frac$$ Подставляем координаты точек и получаем уравнения прямых $А_1А_2 = \frac = \frac = \frac =>$ $$ А_1А_2 = \frac = \frac = \frac $$$А_1А_4 = \frac = \frac = \frac =>$ $$ А_1А_4 = \frac = \frac = \frac$$Угол между прямыми находится по формуле $$ \cos\phi = \frac < \sqrt\sqrt>$$ где $ S_1(l_1;m_1;n_1)$ направляющий вектор первой прямой $ S_2(l_2;m_2;n_2)$ - второй прямой. Поставляем координаты направляющих векторов $$ \cos \widehat = \frac < \sqrt\sqrt> = \frac = \frac => \widehat \approx 34^0$$3) Площадь грани $А_1А_2А_3$.В основании лежи треугольник у которого уже известны стороны $A_1A_2 = 7$ и $A_1A_3 = 6$, координаты всех точек, т.е. можно найти длину третьей стороны и воспользоваться формулой Герона для нахождения площади, можно зная длину основания $A_1A_2 $ и уравнение прямой $ A_1A_2$ найдем расстояние от точки $A_3$ до этой прямой это будет высота треугольника и найдем площадь по формуле $ S = \fracah $. Найдем третью сторону и воспользуемся формулой Герона $$S = \sqrt, \quad p = \frac$$ $$А_2А_3 = \sqrt = \sqrt$$ тогда полупериметр равен $ p = \frac = \frac$ $$S = \sqrt< \frac* \frac* \frac* \frac> = $$$$ = \sqrt< \frac* \frac* \frac* \frac> = $$ воспользуемся формулой сокращенного умножения - формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ $$ = \frac\sqrt < (13^2-41)(41-1)>= \frac \sqrt = 8 \sqrt$$ 4)Уравнение прямой $А1А2$.Уравнение прямой было найдено в п.2$$ А_1А_2 = \frac = \frac = \frac $$5) Уравнение плоскости $А_1А_2А_3$.Известны координаты точек $А_1(4;-1;3), А_2(-2;1;0), А_3(0;-5;1)$Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки в координатной форме $$\left|\begin x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end\right| = 0$$ Подставляем координаты точек $$\left|\begin x-4 & y+1 & z-3\\ -2-4 & 1+1 & 0-3 \\ 0-4 & -5+1 & 1-3 \end\right| = \left|\begin x-4 & y+1 & z-3\\ -6 & 2 & -3 \\ -4 & -4 & -2 \end\right| = $$$$ = (x-4)*2*(-2)+(y+1)(-3)(-4)+(-6)(-4)(z-3)-(-4)2(z-3)-(-4)(-3)(x-4)-(-2)(-6)(y+1)=$$$$ =-4(x-4)+12(y+1)+24(z-3)+8(z-3)-12(x-4)-12(y+1) = -16(x-4)+32(z-3)= $$$$ =-16x+64+32z-96=-16x+32z-32 = 0$$ Уравнение плоскости $$-16x+32z-32 = 0 => -x+2z-2=0$$6) Уравнение высоты, опущенной из вершины $А_4$ на грань $А_1А_2А_3$.Известны координаты точки $А_4(3;2;-6) $, уравнение плоскости, в которой лежит грань $A_1A_2A_3$ $-x+2z-2=0$ з этого уравнения получим координаты нормального вектора к плоскости $ \vec=(-1;0;2) $. Этот вектор является направляющим вектором прямой, подставим координаты вектора в каноническое уравнение прямой и координаты точки $A_4$ $ \frac = \frac = \frac $ получили, что прямая перпендикулярна оси Oy, уравнение прямой можно записать еще и так $$\frac = \frac, \quad x=1 $$ 7) Угол между ребром $А_1А_4$ и гранью $А_1А_2А_3$.Есть прямая, на которой лежит ребро, ее уравнение $А_1А_4 = \frac = \frac = \frac$. Есть плоскость, которой принадлежит грань $A_1A_2A_3$ $-x+2z-2=0$. Запишем каноническое уравнение прямой \(\frac = \frac = \frac

\), каноническое уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$, тогда угол между прямой и плоскостью будет рассчитываться по формуле $$ \sin \phi = \frac < \sqrt\sqrt>$$Подставляем данные из задачи в формулу $$\sin \phi = \frac < \sqrt\sqrt> = \frac< \sqrt> => \arcsin (\frac< \sqrt>) \approx 52,84^0$$

8) Объем пирамиды.Объем пирамиды равен $$V_ = \fracSh$$ где $ S = 8 \sqrt$ - площадь основания. Нужно найти высоту, опущенную на это основание, а это есть расстояние от точки до плоскости, которое рассчитывается по формуле $$d = |\frac|$$ где $(x_0;y_0;z_0)$ - координаты точки $А_4(3;2;-6)$, а $Ax+By+Cz+D=0$ - уравнение плоскости, которое равно $-x+2z-2=0$. Подставляем координаты и получаем $$h = |\frac| = \frac $$ Подставляем в формулу объема $$V_ = \frac 8 \sqrt*\frac = \frac$$

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎

Даны координаты вершин пирамиды \(А_1А_2А_3А_4\).