Очевидно, что образующая цилиндра равна его высоте.

1 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Уважаемые абитуриенты! Вашему вниманию представлен труд трех минских репетиторов по математике и физике Иванова Алексея Алексеевича ( Ливянта Евгения Борисовича ( и Василевского Алексея Сергеевича ( Мы разобрали для Вас все задачи третьего этапа репетиционного тестирования по математике и физике. Мы старались показать решение каждой задачи таким образом, чтобы оно помогло Вам в решении аналогичных задач. Практика последних лет показывает, что задания, которые будут представлены Вам на Централизованном тестировании в июне 0 года, по тематике очень часто совпадают с темами задач третьего этапа репетиционного тестирования. Поэтому для Вас очень важно не просто увидеть решение, но и вспомнить соответствующую теорию. В ближайшее время Вашему вниманию мы предложим подборку задач, темы которых будут совпадать с темами заданий третьего этапа репетиционного тестирования. ЕСЛИ ВЫ НАШЛИ У НАС НЕТОЧНОСТИ ИЛИ ОШИБКИ СООБЩИТЕ НАМ О НИХ. МЫ БУДЕМ ВАМ ОЧЕНЬ ПРИЗНАТЕЛЬНЫ И СРАЗУ ЖЕ ИСПРАВИМ ИХ. Удачи на ЦТ! А. Как построить цилиндр? Надо провести прямую, которую мы назовѐм осью цилиндра. На расстоянии R от оси проведѐм отрезок длиной h, параллельный оси. Совершим вращение этого отрезка вокруг оси (один оборот) и у нас образуется фигура, которая называется цилиндр. Отрезок, который мы вращали вокруг оси, называется образующим. Цилиндр состоит из двух оснований параллельных кругов радиусом R, центры которых лежат на оси и боковой поверхности. Осевым сечением цилиндра называется прямоугольник, сторонами которого являются два параллельных диаметра оснований и две образующие. Очевидно, что образующая цилиндра равна его высоте.

2 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Объѐм цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на его высоту V S h, где площадь основания (круга) равна S ОСН R. Если боковую поверхность цилиндра разрезать вдоль образующей и развернуть, то получится прямоугольник. Одна сторона прямоугольника это высота h, а вторая это длина окружности основания, равная L R ОСН Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна площади данного прямоугольника, то есть S R h, а полная поверхность цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности и двух БОК оснований S R h R. Вернѐмся к нашей задаче. Если осевым сечением цилиндра является квадрат, то высота цилиндра равна диаметру основания. Площадь этого квадрата равна h 0, откуда высота равна h 0. Ответ:. А. На рисунке изображена часть графика функции y = sin (весь график неограниченно продолжается влево и вправо). Множество значений функции это все значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у). Проще всего находить область значения функции, если график функции уже построен. Глядя на график, перечисляют все значения переменной у от наименьшего до наибольшего, то есть снизу вверх. E y ;. Областью значений функции y = sin является закрытый промежуток от до : Из предложенных ответов только дробь принадлежит этому промежутку. Ответ:. a c А. Пропорцией называется выражение вида. Основное свойство пропорции: произведение b d крайних членов a и d пропорции равно произведению еѐ средних членов b и с (другими словами, надо перемножить крест накрест и приравнять произведения). Получаем ad b c. В данной задаче 0, 0 0, 7,. Тогда х = 0. Ответ:.

3 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. А4. Купили 9 кг яблок по цене 000 р. за килограмм значит, потратили 7000 рублей. Один процент (%) это одна сотая часть числа, а 0% числа равно десять сотых числа, то есть одной десятой части числа. Снижение цены на 0% означает, что от цены надо отнять еѐ десятую часть, то есть 00 рублей. Новая цена яблок 700 рублей за килограмм. Так как у нас 7000 рублей, то мы сможем купить 0 кг яблок. Ответ:. А. Решим пример, анализируя предложенные ответы. Так как a>b, то ответы и не подходят. Остались ответы, 4,. Так как a<d, то ответы 4 и е подходят. Остался ответ, который удовлетворяет и условию c>d. Ответ:. А6. Ответ:. 6 0, :,4 : А7. Проведѐм диагонали четырѐхугольника АС и ВD. Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок MN является средней линией этого треугольника, а значит, отрезок MN параллелен АС. Рассуждая аналогично для треугольника АDС, получим, что РТ параллелен АС. Тогда отрезки MN и РТ параллельны друг другу. Несложно показать, что отрезки MР и NТ также параллельны друг другу. Мы получили четырѐхугольник с попарно параллельными сторонами, то есть параллелограмм. Ответ: 4. А8. Проведѐм преобразования в каждом из неравенств Тогда

4 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года Значит 7 0 Помним, что при умножении или делении левой и правой части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. 7 0 Покажем штриховкой полученные результаты и получаем, что решением неравенства является промежуток 7 ;0. В этот промежуток входят целые числа от до 9. Наименьшим из них является число. Ответ:. А9. Для нахождения площади четырѐхугольника надо догадаться от площади прямоугольника вычесть площади двух прямоугольных треугольников. Площадь прямоугольника равна 6 0 = 60. Вспомним, что площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов. Тогда площадь первого треугольника равна / 6 = 6, а второго треугольника / 8 4 = 6. Тогда искомая площадь четырѐхугольника равна = 8. Ответ:. А0. Увидим в числителе первой дроби разность квадратов, а в знаменателе квадрат разности После сокращения получим Ответ:.

5 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. А. Равносильные уравнения, уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Так как корнем уравнения х 40 = 0 является х = 8, то среди предложенных уравнений будем искать такое, в котором есть единственный корень х = 8. Решаем пять предложенных уравнений. ) log, получаем х = 9 не подходит ) 98 0, получаем х = и х = 8 не подходит ) 8, получаем х = 7 не подходит 4) 6 8, получаем х = не подходит ) 4, получаем х = и х = 8, но вспомним, что при решении таких уравнений надо проверить, чтобы та часть уравнения, которая НЕ находится под корнем была неотрицательной (ОДЗ: х 4 0). Это означает, что х = не является корнем, а х = 8 является. Значит, в уравнении 4 есть единственный корень х = 8 и это уравнение равносильно уравнению х 40 = 0. Ответ:. А. Я советую в таких примерах превращать сумму степеней в произведение чисел с одинаковым основание, а разность степеней в частное чисел с одинаковым основанием. y y y y y y Теперь раскладывайте основания на простые множители y y y y y y y y y y y y y y Можно было решить этот пример иначе, но этот способ позволяет «не думая» прийти к правильному ответу. Ответ:. А. При внесении под корень или вынесении из под корня множителя главное не поменять знак всего выражения и следить, чтобы под корнем четной степени сохранялось неотрицательное выражение. Подкоренное выражение у х должно быть больше нуля, тогда выражение перед корнем х у отрицательно. Вывод: когда мы закончим преобразования, перед корнем должен быть знак минус. Ответ: 4. y y y y y y А4. Очень важно! Возводите в квадрат сумму, так как сумма неотрицательных выражений всегда неотрицательна. Возводя в квадрат разность, которая может оказаться отрицательной, Вы рискуете получить лишние корни. Решить уравнение 8 y Переносим в правую часть, так как 8 может быть меньше 0, а возводить в квадрат можно, если обе части уравнения неотрицательны. 8 Возводим в квадрат обе части уравнения После упрощения получаем 8 0 4, ОДЗ: 0

6 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Обратите внимание, что в ОДЗ надо учесть, что подкоренные значения должны быть больше или равны нуля. Также, перед возведением в квадрат, надо учесть, что выражение НЕ находящееся под корнем должно быть неотрицательно (в данном примере получилось, что выражение х+ НЕ находящееся под корнем совпадает с выражением находящемся под корнем). Возводим обе части уравнения в квадрат После упрощения получаем 8 0 х = и х = 4 оба корня подходят по ОДЗ. Среднее арифметическое этих корней равно 6. Ответ:. А. Сначала вспомним теорию построение графика функций из РТ. Рассмотрим некоторые закономерности при преобразовании графиков функций. Рассмотрим графики функций y = и y =. В этом случае значение функции у изменяется на противоположное. y = y = Это утверждение справедливо для любых двух графиков функций у = f() и у = f(). у = f() у = f() Если знак перед всей функцией заменить на противоположный, то график функции надо симметрично отобразить относительно оси абсцисс ОХ. Рассмотрим графики функций y = и y = +. В этом случае значение функции у увеличивается на, а весь график функции y = поднимается на единицы. В случае графика функции y =, график функции y = опускается на единицы.

7 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. y = + y = Это утверждение справедливо для любых графиков функций у = f() и у = f() + а и у = f() а. у = f() у = f() + а у = f() а. Если к значению функции прибавить число, то график функции надо «поднять» на указанное число единичных отрезков, а если от значения функции вычесть число, то график функции надо «опустить» на указанное число единичных отрезков. Рассмотрим графики функций y = и y = ( +). Значение второй функции будет равно значению первой функции при меньших на значениях аргумента х. Например, у = 0 при х = 0 у первой функции и при х = у второй функции; у = 4 при х = и х = и при х = и х = у второй функции. Итак, если к аргументу функции прибавляется число, то весь график сдвигается влево на указанное число единичных отрезков. Очевидно, что при вычитании числа от аргумента функции, то весь график сдвигается вправо на указанное число единичных отрезков. Например, график функции y = ( ) сдвигается относительно графика функции y = на вправо.

8 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. y = ( ) y = ( + ) Конечно же все эти рассуждения справедливы для графиков функций у = f(), у = f(+а) и у = f( а). у = f(), у = f(+а) у = f( а). Конечно же от Вас может потребоваться совершить сразу несколько преобразований графика. Для построения графика функции y рассмотрим два случая, в первом из которых подмодульное выражение больше или равно нуля, а во втором случае подмодульное выражение меньше нуля y, при х 0. y, при х 0 Сначала строим график функции у = х для неотрицательных значений аргумента х. Отметим, что у = х линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой нам достаточно знать две точки, через которые эта прямая проходит. Например 0 y 0 Точнее мы построим не прямую, а луч, так как функция у = х определена только для неотрицательных значений аргумента х (луч, в отличие от прямой, имеет начало в некоторой точке). Теперь строим график функции у = х для отрицательных значений аргумента х. Отметим, что у = х линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой нам достаточно знать две точки, через которые эта прямая проходит. Например y Мы опять построим не прямую, а луч, так как функция у = х определена только для отрицательных значений аргумента х.

9 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. График функции y надо симметрично отобразить относительно оси абсцисс ОХ. Опустим график вдоль оси ординат ОУ на, чтобы получить график функции y Чтобы сместить график вправо на вдоль оси абсцисс ОХ надо вычесть из аргумента х число.

10 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Мы получим формулу у = х. Ответ: 4. А6. Используем для левой части формулу суммы синусов и получим sin sin 7 sin cos Вернѐмся к уравнению sin cos sin Не вздумайте сократить на sin вы потеряете корни уравнения. Переносим всѐ в левую часть и вынесем sin за скобки sin cos sin 0 sin cos 0 Сначала решим уравнение sin 0 n n; n Z ; n Z Теперь решим двойное неравенство для нахождения корней, которые удовлетворяют условию n n 0 0 0n Так как n может быть только целым числом, то целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются: 0; ; ; ; 4;. n Значит, в уравнении 6 корней, которые мы найдѐм, подставляя в равенство ; nz числа 0; ; ; ; 4;. 4 Получаем, что 0. 4,, 6. Теперь решим уравнение cos 0 cos m; m Z m; m Z Теперь решим двойное неравенство для нахождения корней, которые удовлетворяют условию 0 m 0m Так как n может быть только целым числом, то целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются: 0;. Значит, в уравнении 6 корней, которые мы найдѐм, подставляя в равенство m; nz числа 0;. Получаем, что 0,, но эти корни мы уже получили, решая первое уравнение. Поэтому количество корней равно 6. Ответ:. А7. Преобразуем числитель, в котором мы увидели квадрат разности 6 9. Преобразуем знаменатель. Для этого используем формулу разложения квадратичного трѐхчлена на множители a b c a ) ( ), ( где и корни уравнения a b c 0. Решим уравнение 4 0 и найдѐм корни и. Тогда 4 Кстати, мы могли также преобразовать и числитель, решив уравнение Мы получим, что дискриминант равен нулю. Это означает, что в уравнении два совпадающих корня. Тогда Итак, получаем Для решения этого неравенства будем использовать метод интервалов.

11 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Нанесѐм все корни на числовую ось, причѐм все точки должны быть выколоты, так как неравенство строгое. Тем самым находим в каких точках левая часть неравенства МОЖЕТ поменять знак. Перед переменной в каждом из множителей знак плюс, значит, в крайнем правом интервале ставим знак плюс, так как при всех х больших 7, каждый из множителей больше нуля. Затем происходит смена знака, если корень из множителя нечетной степени, и сохранение знака, если корень из множителя четной степени. В данном случае: из множителя нечетной степени, поэтому знак "+" меняем на знак " "; из множителя четной степени знак " " сохраняем; из множителя нечетной степени меняем знак " " на знак "+". Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков ( ;) (;). Ответ: 4. А8. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой полуразности оснований. Доказать это утверждение легко. Пусть ВС = FK = а, AD = b. Тогда AF + KD = b a. С учѐтом того, что b a b a b a AF = KD, получаем AF. Тогда FD b, то есть этот отрезок равен средней линии трапеции. a b Обозначим среднюю линию трапеции t. По теореме Пифагора найдѐм, что t = 6. a b Теперь найдѐм площадь трапеции S h t h 8. Ответ:.

12 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. В. Линейная функция задается уравнением y k b. Мы знаем, что график функции проходит через точки А (;) и В (;). Составим систему уравнений: k b, k b. Решая эту систему, получаем: k 4, b. Тогда значение функции при есть y 4 ( ). Ответ:. В. Имеем: MA MB 7, MP, AOB 60. Рассмотрим треугольник MPA прямоугольный. По теореме Пифагора AP MA MP Аналогично треугольник MPB прямоугольный и BP 6. Рассмотрим треугольники OAP и OBP прямоугольные. Они равны, так как отрезок OP у них общий, а AP BP. Тогда POA POB 0. Значит, гипотенуза треугольников OAP и OBP равна OP AP 4 6, поскольку катеты AP BP лежат напротив углов 0. Из прямоугольного треугольника OPM находим искомое расстояние: Ответ:. OM OP MP 96. В. Преобразуем выражение: По условию 4. Тогда 4. Ответ: ,6 4. В4. Рассмотрим треугольник BOA равнобедренный. Тогда OBA OAB 0.

13 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Рассмотрим треугольник ABC. Угол C по условию, CBA тупой угол. Это так, потому что сторона CB есть касательная к окружности, а касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу. Тогда CBO 90. Находим угол при вершине А треугольника ABC : CAB Если из точки А, лежащей на окружности, проведены хорды AD и AB, то угол между этими хордами есть половина дуги DB. Тогда DOB Рассмотрим треугольник BOD равнобедренный. Тогда BDO DBO 6. Ответ: 6. В. Преобразуем выражение. Важно не забыть, что при четной степени N выражение N log b N log b. Часто в последнем выражении теряют модуль и допускают ошибку. a a Имеем: log log (7 ). НЕ ЗАБУДЬТЕ ПРО ОДЗ. В данном случае она имеет вид: 0, 7. Тогда: log log 7 log 8 log 7 log Рассмотрим различные случаи: ) 7. Тогда ( 7) или 8. С учетом условия 7 и ОДЗ подходит корень 8. ) 7. Тогда (7 ) Оба корня удовлетворяют условию 7 и ОДЗ. 7 7 или 7 7. Тогда произведение корней уравнения равно Кстати, можно было найти произведение корней с использованием теоремы Виета. Так, произведение корней второго квадратного уравнения 78 0 равно 8. А у первого уравнения есть один подходящий корень 8. Их произведение равно 64. Но! Все равно нам пришлось бы определить все корни каждого уравнения, чтобы убедиться, что они входят в ОДЗ! Ответ: 64. В6. Преобразуем выражение: cos cos cos cos sin sin ( )tg. cos cos cos Для вычисления tg 8 применим формулу половинного аргумента Тогда: cos tg. cos

14 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. cos tg. 8 4 cos 4 Отсюда с учетом того, что угол лежит в первой четверти, следовательно, tg 0, получаем: 8 8 tg. 8 Тогда значение искомого выражения есть: cos cos 8 8 ( )tg ( )( ). cos 8 8 Можно было применить и другой, менее рациональный способ преобразования. Запишем формулы половинного аргумента для косинусов и синусов. Тогда: cos 4 cos. 8 4 Угол лежит в первой четверти, следовательно, cos 0. Тогда 8 8 cos. 8 Далее: cos 4 cos. 8 4 Угол лежит во второй четверти, следовательно, cos 0. Тогда 8 8 cos. 8 Далее: cos 4. cos 8 4 Угол лежит в первой четверти, следовательно, cos 0. Тогда 8 8 cos. 8 Дальнейшие рутинные вычисления можете провести самостоятельно. Ответ:. В7. Преобразуем уравнение, разложив на множители выражение в правой части: Разложим на множители выражение в правой части: Тогда:

15 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года Разделим обе части выражения на член, стоящий в правой части: Ответ:. В8. В задачах на высоты важно понять, где находится точка их пересечения: внутри треугольника или снаружи от него. Если заранее определить это не удается, то требуется считать, что высоты пересекаются внутри треугольника, решать задачу, а если при решении получается абсурд (как то катет длиннее гипотенузы, часть отрезка длиннее самого отрезка, отрезок с отрицательной длиной), следует прекратить решение и перерешать задачу сначала, считая, что высоты пересекаются вне треугольника. Итак, предположим, что высоты пересекаются внутри треугольника в точке О. Известно, что высота ВР, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является его биссектрисой и высотой. Тогда AP 4. Из прямоугольного треугольника APB по теореме Пифагора имеем: BP AB AP Пусть угол ABP. Тогда BAC BCA 90. Поскольку треугольник AMC прямоугольный, то MAC 90 BCA. Рассмотрим прямоугольные треугольники APB и APO. Они подобны по третьему признаку подобия. Тогда OP AP OP 4 OP 6. AP BP 4 Получилось, что отрезок OP BP, что абсурдно. Поэтому решаем задачу, заново, считая, что высоты пересекаются вне треугольника. 7 6.

16 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Решение будет дословно таким же, просто теперь очевидно, что если BP, а OP 6, то искомый отрезок OB. Кстати, в данной задаче можно было сразу понять, что высоты пересекаются вне треугольника. Действительно, если рассчитать по теореме косинусов угол В, то получим: AB BC AC cos B. AB AC Поскольку косинус отрицателен, то угол В тупой, следовательно, высоты пересекаются снаружи от треугольника. Ответ:. В9. Уравнение в условии относится к так называемым однородным уравнениям. Они имеют вид: A f ( ) B f ( ) g( ) C g ( ) 0, где А, В и С числа, не равные нулю, а f( ) и g ( ) функции с переменной х. f f Их решают, деля на g ( ) и получая уравнение A B C 0. g g f В этом уравнении производят замену переменных: t и решают квадратное уравнение g f At Bt C 0. Далее подставляют все значения t в уравнение t. g Итак, преобразуем уравнение: ( 4)( 4) 6 0. ( )( ) ОДЗ этого уравнение имеет вид:. Разделим обе части уравнения на 4 ( )( 4) ( 4)( ) В этом уравнении проведем замену ( )( 4) t. ( 4)( ) Тогда 6t t 0 t или t. 6 Рассмотрим все случаи по очереди: ) t. Тогда ( )( 4) 0. ( 4)( ) ) t. Тогда 6 ( )( 4) или. ( 4)( ) 6 Ответ: 6. В0. Имеем: AD 6, BC, SO 49, BAD 60. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны 80. Тогда BAD BCD 80. Поскольку BAD ABC 80 по свойству трапеции, то 4. Получим:

17 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. ABC DCB 0, BAD CDA 60, а трапеция ABCD равнобедренная. AD BC Опустим перпендикуляр BK из вершины В на основание AD. Отрезок AK. Тогда AK боковая сторона трапеции AB. cos60 Важно понять, что если окружность описана около четырехугольника, то она описана вокруг любого из треугольников, составленных из вершин четырехугольника. И радиус этой окружности следует находить именно как радиус окружности, описанной около треугольника! Рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем две его стороны AB и AD и угол между ними. Найдем третью сторону по теореме косинусов: BD AB AD AB AD cos 60 BD 6 6. При вычислениях такого типа важно не пытаться героически все перемножить, просуммировать и рассчитать. Надо раскладывать на множители. Имеем: BD 6 6 BD 6 6, BD 6 (6 ) BD 6, BD BD 7 8 BD 7 49 BD 49. Площадь треугольника ABD есть SABD AB AD sin 60 SABD 6 SABD 4. Тогда радиус окружности, описанной около треугольника ABD, он же радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, он же радиус основания конуса, равен: AB BD AD 49 6 R R 49. 4S ABD 44 Поскольку трапеция ABCD вписана в окружность, то все ее вершины равноудалены от центра окружности О. Это возможно только, если все боковые ребра пирамиды SABCD наклонены к плоскости основания под равными углами. Тогда все треугольники AOS, BOS, COS, DOS равны. Рассмотрим, например, треугольник AOS прямоугольный. По теореме Пифагора Ответ: 98. AS AO OS В. Поскольку задача находится в части В, понятно, что ответ целое число секунд. Пусть оно равно n. Тогда первое тело пройдет путь S 9n. Второе тело проходит за первую секунду путь м, а за каждую последующую путь на 4 метра больше, чем за предыдущую. Тогда пути, проходимые вторым телом за последовательные секунды представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d 4. Полный путь второго тела за n секунд есть сумма n первых членов арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d 4. Эта сумма равна a ( n ) d S n. Тогда путь второго тела равен 6 ( n ) 4 S n n n. Тела встретятся, когда вместе (в сумме) пройдут путь 600 м. Значит, SS 600 9n n n 600 n n 00 0 n или n 0.

18 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Кстати, если Вы не увидели в задаче арифметическую прогрессию или не смогли догадаться, как найти путь второго тела, задачу можно было без особых усилий решить подбором, просто подставляя времена в условие. Ответ:. В. Рассмотрим исходное неравенство log (0 ) 6. Сразу отметим, что точно его решить (найти множество всех значений переменной, обращающих неравенство в тождество) невозможно. Но границы этого множества можно определить приближенно. Рассмотри функцию f ( ) log (0 ). Проанализируем ее. Во-первых, область определения функции задается неравенством Во-вторых, функция f( ) убывает на всей области определения. Это так, потому что и функция, и функция log (0 ) убывают на всей области определения, а произведение убывающих функций есть убывающая функция. В-третьих, функция f( ) однозначная на всей области определения. То есть каждому значению переменной соответствует единственное значение функции f( ) и наоборот. Значит, график функции f ( ) log (0 ) пересекает горизонтальную прямую y 6 в одной точке, а во всех точках правее точки пересечения график функции проходит ниже этой прямой, то есть выполняется неравенство log (0 ) 6. От нас требуется найти количество целых решений неравенства log (0 ) 6, то есть количество целых значений переменной, входящих в область определения функции f ( ) log (0 ) и лежащих правее точки пересечения графика функции с прямой y 6. Точно найти эту точку не получится, но можно утверждать, что она лежит между прямыми и. Действительно, значения функции при соответствующих значениях аргумента равны f ( ) log (0 ) log log. Поскольку log 6, то log 6, то есть 6 f ( ) 70. Очевидно, что f ( ) 6. Аналогично f ( ) log (0 ) log log. Очевидно, что f ( ) 6. Как мы догадались проверить именно эти точки? Если хотите, то практически наугад. Можно было проверять и любые другие точки, но обязательно надо было найти два ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ целых числа n и mn, таких, что f( n) 6, а f( m) 6. Итак, нам удалось установить, что абсцисса точки пересечения графика функции f ( ) log (0 ) и прямой y 6 лежит в пределах. Тогда целыми решениями исходного неравенства являются все числа, лежащие на числовой оси правее числа, включая само это число, и ВХОДЯЩИЕ В ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ f ( ) log (0 ), то есть 0.

19 Иванов А.А., Ливянт Е.Б., Василевский А.С. «Минские репетиторы» Версия от мая 0 года. Количество таких чисел есть. Ответ:.