Логарифм. Как вычислить логарифм?
Объясним проще. Например, \(\log_\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_=3\).
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание - подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:
б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac\) ? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени ).
в) В какую степень надо возвести \(\sqrt\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
г) В какую степень надо возвести \(\sqrt\), чтобы получить \(\sqrt\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac\) .
В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.Пример: Вычислить логарифм \(\log_\)
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: \(\log_=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^=c\)
Что связывает \(4\sqrt\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: \(4=2^\) \(\sqrt=2^\) \(8=2^\)
Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^\cdot a^=a^\) и \((a^)^=a^\)
Основания равны, переходим к равенству показателей
Умножим обе части уравнения на \(\frac\)
Получившийся корень и есть значение логарифма
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).
А теперь решите уравнение: \(3^=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_\).
Хочу подчеркнуть, что \(\log_\), как и любой логарифм - это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714. \)
Пример: Решите уравнение \(4^=10\)
\(4^\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма: \(a^=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_=b\)
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
Поделим уравнение на 5
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln\). Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg\).Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
\(a^=c\)
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.
Пример: Найдите значение выражения \(36^\)
Зная формулу \((a^)^=a^\), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение
Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_\).
Но \(\log_\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_\) . Аналогично и с \(\log_\), и с \(\log_\), и т.д. То есть, получается
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_\), или как \(\log_\), или как \(\log_\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе: