Сравнение значений числовых выражений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Якупов З. Я., Якупов А. З.

Текст научной работы на тему «Сравнение значений числовых выражений»

СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

З.Я. Якупов, доцент кафедры физики и математики Казанской

А.З. Якупов, студент кафедры ЛСОІТУ Л/ГУ им. Н П Огарева

Думаю, что и для других людей

На школьных факультативных занятиях, олимпиадах различного уровня, а также на вступительных экзаменах нередко используются задачи на сравнение действительнозначных числовых выражении без использования вычислительных средств (таблиц, калькуляторов. ПК и др.).

Сравниваемые выражения всегда связаны одним из отношений: больше»,

«меньше» или «равно», а сами выражения могут быть как однотипными, так и разнотипными по форме записи (в функциональном смысле). Например, выражения 2'' и З’оо буЛем считать однотипными, а выра-

жения^4 и ч 17 разнотипными.

Условно, по главной идее сравнения выражений, выделим следующие наиболее часто встречающиеся методы:

1) метод разности;

2) метод частного,

4) метод тождественных преобразовании,

5) фу нкционально-графическин метод;

6) метод «готовых» неравенств.

Условность названий предзагаемых

способов сравнения числовых выражений очевидна уже в силу того, что в «чистом» виде каждый из этих методов встречается очень редко Например, преобразования как таковые присутствуют всегда и везде, а использование основных свойств числовых неравенств просто необходимо при сравнении числовых выражений почти в любой ситуации. Скорее следовало бы говорить о комбинации указанных выше способов сравнения, но мы все же будем стараться придерживаться приведенной ранее у слов-ной систематизации, проиллюстрировав применение каждого из методов рядом примеров Подобное перечисление способов дока-

зательства неравенств приведено в книге И.С. Петракова (Математические кружки в 8-10 классах. М.. 1987. С. 89).

Вкратце охарактеризуем каждый из методов сравнения значений числовых выражений.

I. Суть первого метода заключается в установлении знака разности сравниваемых выражений. По этому знаку и делается соответствующий вывод.

Пример 1. Сравнить числа а = ^,3 н

а - b = log, 3 - log* 9 = log, 3 - log*

log; 3- log, 6 - 2 log, 3 log, 6

_ log; 3 (log, 6-2) log, 6

Значит, a > b Пример 2. Что больше:

%, 9978 + 79981 ИЛИ V 9979 + 79980 ?

Вычтем из первого числа второе; после перегруппировки каждую разность радикалов одновременно у множим и разделим на их сумму, а затем для числителей получившихся дробей используем формулу разности квадратов двух чисел:

(79978 + >, 9981) - (ч 9979 + 79980) =

(79981 - 79980)-(79979 + 79978) =

9980 К V 9981 + 79980)

©З.Я Якупов, А.З. Якупов,2001

(V9979 - л/9978Кл/9979 + л/9978)

/9981 + л/9980 л/9979 + л/9978

В последнем выражении знаменатель первой дроби больше знаменателя второй дроби, поэтому исходная разность отрицательна; следовательно,

л/9978 + л/9981 < л/9979 + л/9980.

2. Для двух (чаще всего однотипных) выражений А и В рассматриваем, например,

отношение — > 0. Сравнивая его с едини-

цей, делаем соответствующий вывод о соотношении чисел А и В.

Пример 3. Доказать, что

Рассмотрим дробь А

Ясно, что А > 0. Нужно доказать, что А< I.

Для этого достаточно доказать,

Га <1. Используя свойство логарифмов при переходе к новому основанию и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем

тельно 1о^10> ^ 11.

3. Метод вставки, как правило, заключается в нахождении числа, раздел я юще-

Оба логарифма больше 1, но меньше 2. Подберем такое рациональное число ц, которое бы разделило данные числа, т.е. было бы больше одного из них и меньше другого числа. В качестве такого числа q

попробуем взять — Действительно.

так как 3 > 22. 3: >2

log з 5 < —. Так как 5: < З3.

Таким образом log,3 > log. 5.

Пример 5. Что больше; 12": или 513 я? Очевидно, что

1212- < 128:,=2161 < 2|62= 512 * < 5 13

Пример 6. Сравнить числа 1о§,

log, 3 < log, 1 = 0 = log, 1 < log , 1.1

Пример 7. Доказать что

А = \15+ л/30 + \/50 <В= л/То \ 20+ л^60.

Сначала оценим каждое из слагаемых суммы А с точностью до единицы.

2 < л/5 < 3, 5 < л/30 < 6, 7 < ч 50 < 8,

14 < л/5 + л/30 + v 50 <17. Итак,

Теперь оценим каждое слагаемое из В также с точностью до единицы.

3 < л/Т0 < 4. 4 < л/20 < 5. 7 < л 60 < 8.

т.е. 14 < л/10 + л/20 + % 60 <17.

Получили одни и те же оценки хля чи-

сравниваемых числа. При этом так- сел ^ и ^ что не позволяет сравнить эти

величины друг с другом. Поэтому учень-

)щих то или иное выражение. Пример 4. Сравнить log

шим точность оценки каждого из слагаемых сумм А и В. Возьмем точность 0,1.

т.п.). При этом также используются известные свойства числовых неравенств.

Следовательно, А < В.

Пример 8. Сравнить числа log ,150 и

log 150 < log,, 169 = logi>l 3: = 2 =

= log(717'=íogl7289<log 7290. Пример 9. Сравнить числа

А = >/26 + Л и 5 = \ 13 + V I7

Предположим, что.-1 > В. Тогда, используя свойства числовых неравенств (А, В > 0). получаем