Конспект урока алгебры по теме «Функции корень n степени из x, их свойства и графики»

Цели урока: рассмотреть свойства и графики функции .

Образовательные:

1) сформировать представление о целесообразности обобщённого исследования зависимостей реальных величин на примере величин, связанных отношением .

2) формировать способность к построению графика, и его свойства;

3) повторить и закрепить приёмы устных и письменных вычислений, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня.

Воспитательные: способствовать развитию интереса к предмету, активности; воспитывать аккуратность в работе, умение работать в команде; выражать собственное мнение, давать рекомендации.

Развивающие: способствовать развитию алгоритмического, творческого мышления, развивать навыки самоконтроля.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы изучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый

Формы работы учащихся : фронтальная, индивидуальная

Вид урока: урок-беседа.

УМК : Алгебра и начала анализа под редакцией А.Г. Мордковича для 10-11 классов (базовый уровень)

Цели урока: рассмотреть свойства и графики функции .

Настраивает учащихся на урок, сообщает план урока. Начинает урок с четкой постановки его целей.

Ученики настраиваются на урок.

Напомним основное определение.

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a .

Устная работа.

Вычислите: Решите уравнение:

Проводит устную работу с учащимися.

Добивается полных, конкретных

ответов с помощью беседы.

Отвечают на вопросы.

Из определения следует важный вывод:

На множестве значений существует функция при n =2,3,4,… , т. е. при любом натуральном n, не равном единице.

Тогда как же выглядит график этой функции и, каковы ее свойства? Сегодня мы это узнаем.

Записываем тему урока: Функции , их свойства и графики .

Наблюдает за действиями уч-ся. Подводит учащихся к теме урока с помощью ранее изученного материала.

Записывает тему урока.

-Ученики отвечают с места, высказывают свои предположения.

Начнем с известного вам случая, когда n =2, то есть с функции . Так как показатель степени четное число, то .

Изобразим график этой функции:

Построим график функции , при .

Как видно график обеих функций представляет собой ветвь параболы, только по-разному расположенную на координатной плоскости.

Данные ветви парабол симметричны относительно прямой . графики имеют две общие точки: (0;0) и (1;1). На ветви параболы лежат точки с координатами , на ветви параболы – точки с координатами и наоборот . Эти точки симметричны относительно прямой .

Значит график функции можно получить из графика, при при помощи преобразовании симметрии относительно прямой y = x . Аналогично график функции можно получить из графика функции при помощи преобразовании симметрии относительно прямой y = x , и так далее.

График функции , напоминает по виду ветвь параболы. Чем больше n , тем круче эта ветвь устремляется вверх и тем ближе проходит к оси x в окрестности точки x =0.

Вывод: График функции при симметричен графику функции при относительно прямой .

Рассмотрим свойства функции при .

1. Область определения: ;

2. Функция общего вида (не является четной либо нечетной);

3. Функция возрастает на луче ;

4. Не ограничена сверху, но ограничена снизу;

5. Не имеет наибольшего значения, но имеет наименьшее значение ;

7. Область значений: ;

8. Выпукла вверх на луче . Это означает, что мы можем взять произвольные точки А и В на графике, соединить их отрезком и содержащийся между этими точками кусок графика будет находиться над отрезком;

9. Функция дифференцируема в любой точке x >0. Функция имеет производную при любом х большем нуля; при функция не имеет производной, касательной в этой точке является ось у.

Мы рассмотрели функцию только для неотрицательных значений аргумента. Но если n -нечетное число, то выражение имеет смысл и для x <0. Рассмотрим случай когда n =3, то есть функцию .

Докажем, что данная функция нечетная:

Итак, функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

Теперь можем назвать свойства функции при n -нечетном.

1. Область определения:

2. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат;

3. Функция возрастает на ;

4. Не ограничена;

5. Не имеет наибольшего наименьшего значений;

7. Область значений: ;

8. Выпукла вверх на и выпукла вниз на ;

9. Функция дифференцируема в любой точке x ≠0. Функция имеет производную при любом х большем нуля; при функция не имеет производной, касательной в этой точке является ось у.

Посредством беседы формирует способность к построению графика функции , через графики функций и , изученные ранее. Вводит свойства функции .