О роли законов сохранения в физике Текст научной статьи по специальности «Физика»

В статье анализируется роль, которую играют законы сохранения в физике, рассматривается связь этих законов со свойствами симметрии пространства и времени, аргументируются важность и удобство применения законов сохранения в механике, значимость применения принципа множественности и единства моделей в процессе изложения материала данной темы в курсе физики.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Егоров Г.В.

ABOUT THE ROLE OF CONSERVATION LAWS IN PHYSICS

The paper analyzes role played by conservation laws in physics, examines the relationship of these laws to the symmetry properties of space and time, argued for the importance and ease of use of conservation laws in mechanics, the importance of applying the principle of of plurality and unity of models in the process of presentation of the topic in a physics course.

Текст научной работы на тему «О роли законов сохранения в физике»

О РОЛИ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ В ФИЗИКЕ

В статье анализируется роль, которую играют законы сохранения в физике, рассматривается связь этих законов со свойствами симметрии пространства и времени, аргументируются важность и удобство применения законов сохранения в механике, значимость применения принципа множественности и единства моделей в процессе изложения материала данной темы в курсе физики.

Ключевые слова: преподавание физики, методология, моделирование, законы сохранения, интегралы движения, вектор Рунге-Ленца, принцип множественности и единства моделей.

Одним из важнейших понятий классической механики является понятие интеграла

Функция ^ где — обобщённые координаты, — обобщённые скорости

системы, называется интегралом движения данной системы, если Ця, я) = «тяг на каждой траектории данной системы, но функция ч) не является тождественно постоянной. Интегралы движения, обладающие свойством аддитивности, называются законами сохранения. Интегралы движения очень полезны в механике, потому что, используя их, можно узнать многие свойства этого движения даже без непосредственного интегрирования уравнений движения.

Законы сохранения имеют важное значение не только в механике, но и в физике вообще. Научное и методологическое значение законов сохранения определяет их исключительная общность и универсальность. Благодаря той особой роли, которую играют законы сохранения в физике, они являются важнейшим элементом современной научной картины мира.

В начале 20 века Эмми Нетер доказала важную теорему, которая утверждает, что всякому непрерывному преобразованию координат с заданным законом преобразования соответствует некоторая сохраняющаяся величина (или, как говорят, инвариант преобразования) [1]. Поскольку преобразования координат тесно связаны со свойствами симметрии пространства и времени (однородностью, изотропностью пространства и однородностью времени), то каждому свойству симметрии пространства и времени должен соответствовать определенный закон сохранения. С однородностью пространства, то есть с симметрией законов физики по отношению к пространственным сдвигам начала координат, связан закон сохранения импульса. С изотропностью пространства, то есть с симметрией относительно поворота системы координат в пространстве, связан закон сохранения момента импульса. Аналогично представление об однородности времени (симметрии по отношению к сдвигам времени) приводит к закону сохранения энергии.

Значение теоремы Нетер не ограничивается только тем, что она устанавливает связь классических законов сохранения с видами симметрии, имеющими геометрическую природу. При наличии в физической системе симметрий другого рода, не связанных со свойствами пространства и времени, теорема Нетер позволяет установить другие законы сохранения. И наоборот, всякий закон сохранения связан с некоторой определенной симметрией системы.

Например, закон сохранения электрического заряда связан с калибровочной инвариантностью, т.е. инвариантностью относительно калибровочных преобразований. Калибровочные преобразования - это преобразования полей, которые описывают переход к новому базису в пространстве внутренних симметрий. Внутренняя симметрия - это инвариантность относительно преобразований над полями, при которых не затрагиваются пространственно-временные координаты.

Можно сказать, что калибровочная симметрия это такая симметрия полей, когда изменяется что-то ненаблюдаемое и неизмеряемое в описании этих полей, а измеряемые величины на это никак не реагируют. Например, электростатическое поле можно описать пространственным распределением скалярного потенциала. При изменении во всех точках пространства потенциала на одинаковую величину поле останется тем же. В этом проявляется калибровочная инвариантность, которая связана с законом сохранения электрического заряда.

В.А. Фок показал, что кулоновское поле щ= помимо геометрической симметрии

обладает некоторой дополнительной симметрией, проявляющейся в случае финитного движения частицы в инвариантности ее уравнений движения относительно преобразований вращения в некотором четырехмерном евклидовом пространстве, связанном с вектором импульса, и

, 2РоРх 2РоРу 2РоРг Ро2 - Р

^ 2 . 2 , '' 2 . 2 , ? 2 . 2 , к

2 2 ' ' 2 2 ' ^ 2 2 ' 2 2' Ро + Р Ро + Р Ро + Р Ро + Р

где р0 - импульс свободной частицы [2].

Эту симметрию кулоновского поля называют скрытой или динамической симметрией. Наличие этой симметрии приводит к сохранению вектора Лапласа-Рунге-Ленца:

Следствием этой симметрии является также замкнутость траекторий финитного движения частицы в кулоновском поле [3].

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца А полезен при описании формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета движется вокруг Солнца), однако, он является интуитивно менее понятным вектором, чем импульс или момент импульса. Вектор А независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия [4]. Якоб Герман был первым, кто показал, что А сохраняется для случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния, и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты [5]. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году. В свою очередь, Пьер - Симон Лаплас в конце XVIII столетия открыл сохранение вектора А вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники.

В середине XIX века Уильям Гамильтон, используя сохранение вектора А, показал, что конец вектора импульса Р под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния, движется по кругу. В начале XX столетия Уиллард Гиббс получил тот же самый вектор А с помощью векторного анализа. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера, на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом рассмотрении атома водорода.

В 1926 году вектор А применил Вольфганг Паули, чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику. После публикации Паули вектор стал, главным образом, известен как вектор Рунге — Ленца.

Использование вектора А дает красивый метод нахождения уравнения траектории движения частицы в кулоновском поле.

Запишем вектор в проекциях на оси цилиндрической системы координат

Г гф о = грЬег — ГЬв

Можно показать, что модуль вектора А пропорционален величине эксцентриситета Л = (Х£, где е - эксцентриситет орбиты. Поэтому вектор л / £ иногда называют вектором эксцентриситета.

Направление вектора А относительно вектора момента импульса Ь определяется из выражения

Видно, что вектор л перпендикулярен векторуЬ и лежит в плоскости орбиты (рис. 1).

Рис. 1. Вектор момента импульса^, вектор Лапласа— Рунге— Ленца^ и вектор

Гамильтона бинормаль в ; являются взаимно перпендикулярными. Вектора 3 и К указывают на большую и на малую полуоси эллиптической орбиты в задаче Кеплера.

Умножим выражение (1) скаляр но на и г обозначим

Сделав подстановку Ф = и сокращая на а, находим:

Учитывая, что а , а

получаем общее уравнение траектории движения частицы в кулоновском поле в виде Р 1

Это уравнение представляет собой уравнение кривой второго порядка в полярных координатах, где р - фокальный параметр орбиты, а е - эксцентриситет.

В современной физике на первое место выходит методологическое значение законов сохранения, так как в законах сохранения воплощаются различные свойства симметрии пространства-времени и свойства симметрии фундаментальных взаимодействий.

Взаимосвязь законов сохранения и принципа симметрии имеет важнейшее значение в науке, поэтому при изучении курса физики и в школе, и в вузе этой проблеме необходимо уделять соответствующее внимание.

Важно сформировать у учащихся понятие геометрической симметрии (свойства пространства-времени), сообщить им о существовании вида симметрии - внутренней, связанной со свойствами взаимодействий. Учащихся полезно также познакомить с теоремой Нетер, согласно которой каждому закону сохранения обязательно соответствует какое-либо свойство симметрии.

Эвристическое значение теоремы Нетер обусловлено тем, что с ее помощью по свойствам движения некоторой физической системы, по характеру взаимодействия физических объектов открывается возможность судить о свойствах симметрии пространства и времени; обратно, по свойствам симметрии пространства и времени можно судить об особенностях движения физических систем и их взаимодействий.

В практике школьного преподавания часто применяется «вывод» законов сохранения из уравнений движения (например, закона сохранения механической энергии из законов Ньютона). Таким образом, у учащихся складывается ложное представление о законах сохранения как о следствии уравнений движения, хотя эти законы являются универсальными, более фундаментальными, чем уравнения движения.

Основная роль законов сохранения в механике заключается в упрощении процесса решения задачи за счет того, что удается избежать непосредственного интегрирования уравнений движения. Рассмотрим в качестве иллюстрации сказанного следующий простой пример [6].

Пример. Небольшое тело соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса Я. Найдем скорость тела в момент отрыва от поверхности сферы (рис. 2).

Рис. 2. Тело А соскальзывает с поверхности гладкой сферы.

Уравнения движения в проекциях на орты т и n имеют вид:

m — = mg sin q> ■> dt

Воспользовавшись тем, что dt = dl / v = rdpl v,

перепишем первое уравнение в виде vdv = gr sin pdp.

Проинтегрировав левую часть выражения от 0 до v, а правую от 0 до ф, получаем v2 = 2gr (i—cosp).

С другой стороны, в момент отрыва N = О, поэтому уравнение (3) принимает вид

где v и ф соответствуют точке отрыва. Исключая cos ф, получаем v = y¡2/3gr .

Другой способ решения этой задачи, использующий закон сохранения механической энергии, позволяет избежать интегрирования. Задача оказывается доступной для решения школьникам. Выбрав нулевой уровень потенциальной энергии в точке отрыва, из закона сохранения энергии получаем:

Отсюда сразу получается выражение (4). В этом состоит особенность законов сохранения. Они позволяют приходить к конечному результату без непосредственного интегрирования уравнений движения.

Использование законов сохранения в механике является наглядным подтверждением принципа множественности и единства моделей, имеющего важное методологическое значение в процессе преподавания физики, но пока еще недостаточно используемого в учебном процессе [7, 8]. В процессе изучения темы «Законы сохранения в механике» важно сформировать у студентов представление о том, что применение законов сохранения является альтернативной математической моделью, во многих случаях упрощающей получение результата задачи.

The paper analyzes role played by conservation laws in physics, examines the relationship of these laws to the symmetry properties of space and time, argued for the importance and ease of use of conservation laws in mechanics, the importance of applying the principle of of plurality and unity of models in the process of presentation of the topic in a physics course.

The key words: physics teaching, methodology, modeling, conservation laws, the integrals of motion, Runge - Lenz vector, the principle ofplurality and unity of models.

1. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Nachr. d. König. Gesellsch. d.Wiss. zu Göttingen, Math-phys. Klasse. 1918. s. 235-257.

2. Фок В А. Атом водорода и неевклидова геометрия // Изв. АН СССР. Сер. VII. Отделение мат. и естеств. наук. 1935. № 2. С. 169-179.

3. Жирнов Н.И. Классическая механика. М.: Просвещение, 1980. 303 с.

4. Goldstein H. Prehistory of the Runge - Lenz vector // American Journal of Physics. 1975. b.43. p. 735-

5. Hermann J . Metodo d'investigare l'orbite de' pianeti // Giornale de Letterati D'Italia. 1710. b. 2. p. 4476. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Бином, 2013. 309 с. 7. Егоров Г.В. Выбор модели при решении физической задачи // Вестник БГУ. 2005. №4. с. 1738. Егоров Г.В. О множественности и единстве моделей в физике // Вестник БГУ. 2012. № 1. с. 291-