Способы извлечения квадратных корней

Методы решения математических задач имеют большую степень универсальности. Основой этой универсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той же проблеме совершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать уже практически готовое решение, полученное ранее где-то в другой отрасли знаний и для других целей.

Внедрение вычислительной техники, «информатизация» различных областей науки, проникновение математических и информатизационных методов во многие сферы человеческой деятельности, быстрый прогресс привели к тому, что навыки устного счета, навыки вычисления с помощью ручки и листа бумаги отходят на второй план.

Для современного человека самый простой способ – взять калькулятор и, в зависимости от даваемой им точности, произвести необходимые вычисления. Это умеет делать каждый.

При изучении дополнительной литературы я столкнулся с тем, что одна из тем алгебры 8 класса – «Квадратные корни», служит примером того, что вычисления проводятся чаще всего с помощью микрокалькулятора. А можно ли обойтись без калькулятора? Как в таком случае выходили из положения математики, когда калькулятор еще не был изобретен?

Цель моей работы – найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми пользовались раньше и которыми можно будет воспользоваться в настоящее время, не имея под рукой калькулятора.

В процессе подготовки работы я использовал следующие методы: изучение и анализ дополнительной литературы, собеседование с учителями математики и физики, анкетирование обучающихся 9-х классов.

Из истории возникновения квадратных корней.

Точно датировать возникновение важнейших понятий — целого числа, величины, фигуры — невозможно. Когда возникла письменность, представление о них уже сложилось. К этому времени были выработаны и различные системы письменной нумерации целых чисел.

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н. э. благодаря вавилонянам и египтянам.

2000—1700 гг. до н. э. — первые дошедшие до нас математические тексты: два египетских папируса и многочисленные глиняные таблички из древнего Вавилона, содержащие формулировки и решения задач. Наиболее замечательное достижение этого периода — создание в древнем Вавилоне элементов алгебры и открытие правила решения квадратных уравнений. Вавилоняне умели также находить приближенные значения квадратных корней из неквадратных чисел. Им были известны правила суммирования арифметической прогрессии и ряда квадратов натуральных чисел.

Математические знания излагались в эту эпоху в виде рецептов, правильность которых не доказывалась; обычно приводились однотипные числовые примеры и их решения. Математики как науки еще не было.

I—II вв. н. э. — широкое развитие вычислительно-алгебраических методов в античной математике.

Около 628 г. — Брахмагупта, оперируя отрицательными числами, дал единое правило для решения любого квадратного уравнения, сформулировал правила действий с нулем, который благодаря этому стал числом, равноправным с другими числами. Брахмагупта пользовался алгебраической символикой: специальными знаками для неизвестных и их степеней, знаками для корня квадратного, для операций сложения и вычитания.

XII в. — Бхаскара-акарья сформулировал все правила действий с отрицательными числами. Бхаскара знал, что благодаря двузначности квадратного корня квадратное уравнение может иметь два решения.

XIV—XV вв. — усовершенствована алгебраическая символика, введены обозначения для степени, для радикала и степеней неизвестного.

Этот знак называется «квадратным корнем», обозначается следующим образом:

Знак корня происходит от начальной буквы r латинского слова radix которое в переводе на русский как раз и означает корень. Происхождение этого термина станет понятнее, если мы представим себе, как квадрат «вырастает» на своей стороне.

В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом radix, а затем сокращенно буквой R (отсюда произошел термин «радикал», которым принято называть знак корня). Некоторые немецкие математики XV века для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить , впоследствии знак V и над выражением, из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак V и черту стали соединять. Такие записи встречаются в «Геометрии» Декарта и «Всеобщей арифметике» Ньютона. Современная запись корня появилась в книге «Руководство алгебры» французского математика М. Ролля (1652 – 1719).

Результат изучения литературы, найденной мной по вопросам нахождения квадратных корней, привел меня к выводу, что алгоритмов извлечения квадратных корней существует много. Я хочу показать вам некоторые из них.

III. Способы нахождения квадратных корней.

III. 1. Способ извлечения квадратного корня, который применяли еще в Древнем Вавилоне.

Этот способ извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским (I век до н. э. ). Рассмотрим этот способ на примере. Пусть надо извлечь квадратный корень из 2. Иначе говоря, решить уравнение: х2 = 2.

Разделим правую и левую части уравнения на х: х = , х 0.

Получается, что извлечь корень – это то же самое, что разделить данное число на другое число, но делитель надо найти такой, чтобы он был равен частному. Попробуем – наугад – разделить 2 на 1,5:

Мы взяли делитель 1,5, частное получилось 1,33. Эти числа, к сожалению, не равны, одно велико, другое мало (вообще-то они никогда не окажутся в точности равными, потому что не существует числа, квадрат которого был бы равен 2, иначе говоря, число 2 не является рациональным), Возьмем приближенное значение их среднего арифметического:

(1,5 + 1,33) : 2 = 1,415.

Будем теперь делить 2 на это число:

На этот раз, взяв делителем число 1,415, мы получили частное 1,4134. Первые три цифры делителя и частного совпали, это и есть первые три цифры искомого корня. Ели вас устраивает такая точность, то можно остановиться, а если нет – действуйте по тому же правилу:

Теперь совпали уже пять цифр делимого и частного, мы получили уже пять цифр искомой непериодической бесконечной десятичной дроби – иррационального числа. Если достаточно такой точности, то можно остановиться, если нет – продолжать делить 2 на 1,41421, т. е. на полусумму новых делителя и частного. Таким образом можно получить квадратный корень любой точности!

III. 2. Квадратный корень как сторона квадрата.

Решим задачу: «Известно, что площадь некоторого квадрата равна 25. Требуется определить, чему равна сторона этого квадрата». Я легко смог решить задачу: подобрал число, которое при умножении само на себя дает 25. Это число 5. Хотя – 5 при умножении само на себя также дает число 25, но сторона квадрата не может измеряться отрицательным числом. Поэтому ответ задачи – число 5.

III. 3. Нахождение квадратных корней методом подбора последовательных приближений.

можно найти, вспомнив таблицу умножения; ясно, что так можно действовать в случае небольших чисел, являющихся квадратами некоторых натуральных чисел. Задача оказалась бы более сложной, если бы площадь данного квадрата была бы равна в ней, к примеру, 19. Ясно, что сторона такого квадрата больше 4 (поскольку 42 = 16) и меньше 5 (поскольку 52 = 25); но как ее найти?

Далее перед нами встают две задачи. Во-первых, надо уметь извлекать квадратные корни из достаточно больших чисел. Конечно, мы всегда можем применить для этого калькулятор; но интересно научиться извлекать квадратные корни без калькулятора. Во-вторых, надо разобраться с квадратными корнями из таких чисел, которые не являются полными квадратами.

Подбор последовательно улучающихся значений для квадратного корня мы можем осуществить с помощью десятичных дробей. В основу этого приема заложено следующее соображение: чем больше число, тем больше его квадрат. Сначала мы устанавливаем, что