Построение графиков функций заданных явно в декартовой системе координат.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале $(a,b)$ функция $f(x)$ строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная $f'(x)$ была строго положительна всюду на $(a,b),$ т.е. $f'(x)>0,\,\, x\in(a,b).$

Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция $f(x)$ возрастала (не убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная $f'(x)$ была положительна всюду на $(a,b),$ т.е. $f'(x)\geq 0,\,\, x\in(a,b).$

Аналогично, условием строгого убывания дифференцируемой функции $f(x),\,\,x\in (a,b)$ является условие $f'(x)<0,\,\, x\in (a,b).$

Условием убывания (не возрастания) дифференцируемой функции $f(x),\,\,x\in (a,b)$ является условие $f'(x)\leq0,\,\,x\in (a,b).$

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0,$ кроме, быть может, самой точки $x_0,$ в которой, однако функция $f(x)$ непрерывна. Тогда точка $x_0$ является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки $x_0$ в которой $f'(x)>0$ при $x<x_0$ и $f'(x)<0$ при $x>x_0.$

Если же $f'(x)<0$ при $x<x_0$ и $f'(x)>0$ при $x>x_0,$ то $x_0$ - точка строгого минимума.

Определение. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значение функции в этой точке - экстремумами.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и имеет на нем $k$ локальных максимумов в точках $x_1,\, x_2. x_k.$ Тогда наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ равно наибольшему из чисел: $$f(a,)\,f(x_1). f(x_k), f(b).$$

Аналогично, если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и имеет на нем $n$ локальных минимумов в точках $x_1',\,\, x_2'. x'_n,$ то ее наименьшее значение на этом отрезке равно наименьшему из чисел: $$f(a),\, f(x_1'), f(x_2'). f(x_n'), f(b).$$

Для того, чтобы функция $f(x),$ дважды дифференцируемая на интервале $(a,b),$ была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная $f''(x)$ была неотрицательна на $(a,b),$ то есть $f''(x)\geq 0,\,\,x\in (a,b).$

Условие $f''(x)>0,\,\, x\in(a,b) -$ условие строгой выпуклости вниз.

Если $f''(x)\leq 0,\,\, x\in (a,b) -$ функция выпукла вверх. $f''(x)<0 -$ условие строгой выпуклости.

Если функция $f(x)$ при переходе через точку $x_0$ меняет направление выпуклости, то точка $x_0$ называется точкой перегиба.

Функция $f(x)$ называется четной, если $f(x)=f(-x);$

Функция $f(x)$ называется нечетной, если $f(x)=-f(-x).$

Нахождение асимптот.

Если $\lim\limits_ f(x)=\infty$ или $\lim\limits_f(x)=\infty,$ то прямая $x=x_0$

называется вертикальной асимптотой графика.

Чтобы прямая $y=kx+b$ была асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x\rightarrow+\infty\,\,\,$ при $(x\rightarrow -\infty)$ необходимо и достаточно, чтобы $$\lim\limits_\frac=k \quad \left(\lim\limits_\frac=k\right)$$

в случае горизонтальной асимптоты $(k=0)$ вместо (1) имеем: для того чтобы прямая $y=b$ была горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x\rightarrow+\infty$ (при $x\rightarrow-\infty$) необходимо и достаточно, чтобы

Построение графиков.

При построении графика функции удобно придерживаться следующей схемы.

1. Найти область определения функции.

2. проверить является ли функция четной, нечетной, периодической.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат, промежутки, где значения функции положительны, отрицательны. Найти точки разрыва функции.

4. Найти асимптоты графика.

5. Вычислить первую производную, определить промежутки возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума.

6. Найти вторую производную, найти точки перегиба графика, промежутки выпуклости вверх и вниз.

7. Нарисовать график функции.

Пример полного исследования функции и построения графика.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1) Найдем область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции:

Область определения . Данная функция, как элементарная, непрерывная в каждой точке области определения. Точка - точка разрыва.

функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не периодичная.

Точки пересечения с осью Oy нет: .

Точка пересечения с осью Ox: . Т.е. кривая проходит через точку .

2) Найдем асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции в этой точке.

Таким образом оба предела бесконечны и прямая является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты задаются уравнением , где

Таким образом, наклонных асимптот функция не имеет.

3) Вычислим производную функции и найдем ее интервалы монотонности и экстремумы.