научная статья по теме ОПТИМАЛЬНЫЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ СОПЛА, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОБРАЗУЮЩУЮ Физика

Текст научной статьи на тему «ОПТИМАЛЬНЫЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ СОПЛА, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОБРАЗУЮЩУЮ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2009

ОПТИМАЛЬНЫЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ СОПЛА, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОБРАЗУЮЩУЮ

Рассмотрена задача построения осесимметричных сверхзвуковых сопел, реализующих максимальную реактивную тягу. На основе локального анализа распределения аэродинамической нагрузки предложено аналитическое решение. Показано, что близкие к оптимальным тяговые характеристики имеют сопла с образующей, задаваемой степенной зависимостью радиуса от продольной координаты с показателем степени, равным 2/3. Исследование проведено в рамках модели Эйлера для невязкого нетеплопроводного газа.

Ключевые слова: сверхзвуковое сопло, реактивная тяга, оптимизация, степенная образующая.

Один из основных элементов силовой установки сверхзвукового летательного аппарата — расширяющаяся часть сопла. Форма сопла выбирается из условия обеспечения максимальной реактивной тяги при заданных габаритных ограничениях [1, 2]. В отличие от задач внешней аэродинамики в данном случае не нашли широкого применения упрощенные модели течения, основанные на локальной связи между геометрическими и газодинамическими параметрами. С одной стороны, это обусловлено ограниченностью локальных подходов. В частности, формула Ньютона для давления применима исключительно для наветренной поверхности. С другой стороны, современный уровень развития вычислительной техники позволяет решать оптимизационные задачи на основе наиболее точных моделей течения. В [3] в рамках уравнений Рейнольдса исследовано влияние на тяговые характеристики формы сопла в целом, а не только его сверхзвуковой части.

Вместе с тем актуальными остаются изучение характерных особенностей оптимальных конфигураций, выход на аналитические зависимости геометрических параметров. С этой целью предлагается использовать метод малых вариаций формы тел с известным распределением аэродинамической нагрузки, развитый в [4]. В приближении отсутствия аэродинамической интерференции находится аналитическая аппроксимация целевой функции, условия экстремума которой определяют оптимальную форму. В рамках данного подхода для осесимметричных сопел предлагается степенная образующая с показателем степени, равным 2/3. Проводится сопоставление тяговых характеристик таких сопел и сопел, спрофилированных в точной постановке задачи.

1. Постановка задачи и оптимизационный метод. Образующая сопла представляется набором отрезков, соединяющих узловые точки (х, г), ; = 1.. .и, где х1 — расстояние от начального сечения сопла, г — расстояние от оси симметрии. В процессе оптимизации варьируются только радиальные координаты. В качестве характерной длины принят радиус входного сечения сопла г1 = 1, х1 = 0. Длина сопла определяется как Ь = хп — х1. В общем случае диаметр сопла В выбирается достаточно большим, чтобы обеспечить выполнение условия гп < В/2. Если же диаметр выходного сечения фиксируется, то параметр гп = В/2 исключается из числа независимых переменных. Принято, что давление рь на донном срезе (гп < г < В/2, х = хп) постоянно и не зависит от формы сопла.

Целевая функция — суммарная аэродинамическая сила, действующая на сопло в продольном направлении

Г = п^р1 (г2+1 - г2) + прь(0.25Б - г2„)

Здесь р, — давление на отрезке образующей х1 < х < х1 +Более удобно представление, в котором выделены переменная и постоянная составляющие

г = п ^ (р1 - рь)( г2+ 1 - г2) + ърь( 0.25^2 - г2)

Требуется определить максимальное значение целевой функции и соответствующие значения геометрических параметров при наложенных геометрических ограничениях. Два ограничения, фиксирующие длину и радиус входного сечения сопла, учтены при выборе геометрических параметров и представления целевой функции. Третье ограничение, упоминавшееся выше, связано с заданием диаметра выходного сечения. В этом случае величина донного давления не оказывает влияния на оптимальную форму сопла. Дополнительное ограничение типа неравенства (в отличие от первых трех ограничений типа равенства) — условие, накладываемое на кривизну поверхности вблизи входного сечения. В противном случае допускается излом контура образующей, что неблагоприятно по тепловым характеристикам. Вводится окружность, проходящая через первую узловую точку, с центром, расположенным в плоскости входного сечения. Окружность находится вне внутреннего канала. Узловым точкам запрещается располагаться внутри данной окружности. Ограничение имеет следующую математическую

R - x¡ , x¡ < R, где R — радиус окружности.

Поиск оптимума проведен с помощью метода, основанного на квадратичной аппроксимации целевой функции в рамках локального анализа распределения давления по поверхности сопла. Данный метод хорошо зарекомендовал себя при решении оптимизационных задач внешней аэродинамики [4, 5]. Была продемонстрирована высокая скорость сходимости при большом числе переменных. Оптимизационный процесс состоит из ряда итераций, на каждой из которых находится улучшающая целевую функцию вариация формы. Первоначально с помощью методов вычислительной аэродинамики определяются характеристики и поверхностное распределение газодинамических параметров для текущего варианта сопла. Полученная информация позволяет представить целевую функцию в виде квадратичной формы. При этом предполагается справедливость локальных соотношений между геометрическими и газодинамическими параметрами. Изменение давления связывается с приращением угла наклона соответствующего отрезка в приближении теории плоской волны

p = pm + km(Ar¡ - Ár¡ +1), km = 2 YM''0p0-

Vm2C - 1(xi +1 - xi)

Здесь давление pi0 и число Маха Mi0 на отрезке между сечениями x¡ и x¡ +1 соответствуют исходной геометрии сопла, задаваемой параметрами ri0, i = 1.. .и, Ar¡ = r¡ — ri0 — приращение радиуса в i-том сечении, у — отношение удельных теплоемкостей.

Приращение суммарной аэродинамической силы, вызванное изменением геометрии сопла, описывается выражением

AF = П X (Pío - Pb + k 10 (Ar i + Ar i + 1) ) (r2+ 1 - r2 ) - П X (Pío - Pb ) (r2+ 1, 0 - r20 )

Суммирование ведется по отрезкам образующей сопла и содержит составляющие, линейно и квадратично зависящие от приращений радиусов в соответствующих поперечных сечениях

+ [2(Pi0 -Ръ)ri + 1, 0 - ki0(r2+ 1, o - r2o)] Ari + 1 + + [- (Pi0 -Ръ) - 2ki0ri0] Ar2 + [(Pi0-Ръ) - 2ki0ri + 1, 0] Ar2+ 1 +

+ 2 ki0 (ri0 + ri + 1, 0 )A riA ri + 1 >

Для полученной квадратичной формы определяются градиент и матрица Гессе и с помощью метода Ньютона находится положение экстремума. На заключительном этапе итерации проводится проверка полученного решения на основе подходов вычислительной аэродинамики. По направлению, задаваемому в пространстве геометрических параметров экстремальными значениями приращений Ar¡, выполняется одномерный поиск максимума целевой функции. Для повышения надежности получаемых результатов на каждой итерации проводился дополнительный спуск по направлению градиента.

Течение в сопле исследовалось в рамках модели Эйлера для невязкого нетеплопроводного газа. Уравнения движения, записанные в цилиндрической системе координат, интегрировались по маршевой конечно-разностной схеме [6]. В начальном сечении сопла задавались параметры равномерного сверхзвукового потока с числом Маха, близким к единице. Расчетная сетка содержала 201 узел в направлении от оси симметрии к поверхности сопла.

2. Аналитическое решение задачи. Представленный оптимизационный метод использует простую и, как показывает практика решения различных задач, достаточно точную в случае сверхзвуковых течений локальную модель. Получаемая при этом аппроксимация целевой функции позволяет в ряде случаев определить аналитическое представление формы оптимального тела. Например, для осесимметричной носовой части, имеющей минимальное волновое сопротивление при заданных габаритах, получена степенная зависимость радиуса от продольной координаты [4]. Задачи оптимизации носовой части и сопла составляют близкие по форме представления, что позволяет надеяться на существование аналитического решения и в последнем случае.

В качестве исходной геометрии выбрано сопло, имеющее варьируемый участок с линейной образующей, на поверхности которого давление и число Маха принимают постоянные значения —pl0 = pc, Mi0 = Mc. Данное условие выполняется для цилиндрического сопла. В рамках локальной модели течения справедливо линейное соотношение между давлением и разницей радиальных координат в начальном и конечном сечениях отрезка

l?i — РС + kc(ri - ri + 1 - ri0 + ri + 1, 0), kc —

Необходимое условие экстремума для /'-той точки образующей сопла в случае равномерного распределения узловых сечений записывается как ¥'г = 0 или

(Pt-1 (r2 - Г2-1) + (Pt(r2+ 1 - П ) + 2rt(Рt-1 -Pt) = 0

После несложных преобразований получается окончательный результат г2-1 - 6г2 + г2+1 + 2г,(г, -1 + г1 +1) = 0

В рамках сделанных предположений условие экстремума не зависит от параметров исходного сопла и связывает радиальные координаты в трех соседних сечениях. Введение разложения функции в ряд Тэйлора с точностью до малых второго порядка

Г ± 1 = Г + (гх );[х;± 1 — х] + 0.5(гхх ),.[х,.± 1 — х]2 при увеличении числа узловых точек п ^ да сводит условие экстремума к дифференциальному уравнению

2 г1 ( О, + ( г'х)2 = 0

где (гх(гхх )1 — соответственно первая и вторая производные радиуса в точке х.

Решение — степенная зависимость вида г = (А + Вх)2/3. Коэффициенты А и В определяются граничными условиями. Первое граничное условие задается в одном из сечений вблизи входного сечения сопла или непосредственно в нем в зависимости от наличия или отсутствия ограничения на кривизну контура сопла. Во втором случае имеем г = 1 при х = 0 и, следовательно, А = 1. В первом случае находится сечение, в котором обеспечивается гладкая стыковка окружности и степенной образующей

1 + Я-4ЁГ-х2 = (А + Вх )2/3, - х = 2- В

Имеются два уравнения, из которых могут быть определены значения х и одного из коэффициентов (А ил

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎