Задачи на сфере: обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача — это нахождение начального направления и расстояния между двумя точками с известными координатами.

Содержание

[править] Общие положения

В качестве модели Земли принимается сфера с радиусом R, равным среднему радиусу земного эллипсоида. Аналогом прямой линии на плоскости является геодезическая линия на поверхности. На сфере геодезическая линия — дуга большого круга.

Введём следующие обозначения:

• φ — географическая широта,
• λ — географическая долгота,
• α — азимут дуги большого круга,
• σ — сферическое расстояние (длина дуги большого круга, выраженная в долях радиуса шара).

Линейное расстояние по дуге большого круга s связано со сферическим расстоянием σ формулой s = R σ.

Прямая и обратная геодезические задачи являются важными элементами более сложных геодезических задач.

[править] Постановка задачи

На рисунке синим цветом выделены заданные элементы сферического треугольника, красным цветом неизвестные.

[править] Алгоритм

Существует великое множество подходов к решению поставленной задачи. Рассмотрим простой и надёжный векторный метод.

Последовательность решения:

1. преобразовать углы φ₂ и λ₂ в декартовы координаты,
2. развернуть координатные оси вокруг оси Z на угол λ₁,
3. развернуть координатные оси вокруг оси Y на угол (90° − φ₁),
4. преобразовать декартовы координаты в сферические.

Можно устранить второй пункт, если в первом заменить долготу λ₂ на разность долгот (λ₂ − λ₁).

Пример реализации алгоритма в виде функции языка Си:

Следует заметить, что прямая и обратная задача математически идентичны, и алгоритмы их решения зеркально отражают друг друга.

В данном случае в качестве сферических координат φ, λ подставим φ₂, λ₂.

Реализация на Си:

Представим оператор вращения вокруг оси X на угол θ в следующем виде:

Операторы вращения вокруг осей Y и Z получаются перестановкой символов.

Реализация вращения вокруг i-ой координатной оси на Си:

В данном случае в роли сферических координат φ, λ окажутся углы (90° − σ), (180° − α₁).

Реализация на Си:

[править] Пример программной реализации

Исходники вышеприведённых функций можно найти в архиве Sph.zip в файле sph.c. Кроме того, в файл sph.h включены следующие определения:

Теперь напишем программу, которая обращается к функции SphereInverse для решения обратной задачи:

В архиве Sph.zip этот код находится в файле inv.c. Создадим исполняемый модуль inv компилятором gcc:

Впрочем, в архиве есть Makefile. Для MS Windows готовую программу inv.exe можно найти в архиве Sph-win32.zip.

Программа читает данные из стандартного ввода консоли и отправляет результаты на стандартный вывод. Для чтения и записи файлов используются символы перенаправления потока «>» и «<» соответственно. Из каждой строки ввода программа считывает координаты двух точек φ₁, λ₁, φ₂, λ₂, которые должны быть в градусах, решает обратную задачу и записывает в строку вывода α₁, α₂, s (азимуты прямого и обратного направлений в градусах; расстояние между пунктами в километрах, а точнее, в единицах, определённых константой A_E).

Создадим файл inv.dat, содержащий одну строку данных:

После запуска программы

получим α₁, α₂, s:

В архиве Sph-py.zip находятся скрипты на языке Питон. Выполнение скрипта в командной консоли:

[править] Решение обратной задачи средствами PROJ

В пакет PROJ входит программа geod, предназначенная для решения прямых и обратных геодезических задач на сфере. Так выглядит команда обработки файла inv.dat:

Параметр +a определяет радиус сферы, -I — решение обратных задач, -f — формат вывода угловых величин, -F — формат вывода длин линий, +units — единица измерения расстояний. В результате получим идентичный вывод:

Различие значений α₂ на 360° объясняется тем, что inv выводит азимуты в диапазоне от 0° до 360°, а geod от −180° до +180°.

[править] Альтернативные методы

Некоторые элементы альтернативных методов решения обратной задачи представлены в статье Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере.

В большинстве своём другие методы основаны на сферической тригонометрии. Многие из них используют вычисление σ или α₁ по таким функциям, как синус, косинус или гаверсинус. Это приводит к неоднозначности результатов вблизи особых значений, когда производная функции равна нулю. Такие методы не могут считаться универсальными.

К наиболее надёжным относится следующий способ:

В сферической тригонометрии углы и стороны должны быть в диапазоне [0, 180°]. Алгоритмизация формул требует анализа и обработки случаев, когда входные величины не попадают в эти рамки.