Пример частного решения линейного дифференциального уравнения
Задание . Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (xo = 0). y″ + 6y' + 13y = 8e -x , yo = 2/3, y'o = 2. Решение находим с помощью калькулятора. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение: r 2 +6 r + 13 = 0D = 6 2 - 4·1·13 = -16
Корни характеристического уравнения: r1 = -3 + 2i, r1 = -3 - 2i Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1=e -3x ·cos(2x), y2=e -3x ·sin(2x) Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -3x ·cos(2x)+C2·e -3x ·sin(2x) Найдем частное решение при условии:y(0) = 2/3, y'(0) = 2Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:c1 = 2/3Находим первую производную:y' = -3·c2·e -3·x ·sin(2·x)-2·c1·e -3·x ·sin(2·x)-3·c1·cos(2·x)·e -3·x +2·c2·cos(2·x)·e -3·x Поскольку y'(0) = -3·c1+2·c2, то получаем второе уравнение:-3·c1+2·c2 = 2В итоге получаем систему из двух уравнений:c1 = 2/3-3·c1+2·c2 = 2т.е.:c1 = 2 /3, c2 = 2Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
Рассмотрим правую часть: f(x) = 8·e -x Поиск частного решения. Уравнение имеет частное решение вида: y * = Ae -x . Вычисляем производные онлайн: Первая производная: y' = -A·e -x Вторая производная: y″ = A·e -x Найденные производные подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 6y' + 13y = (A·e -x ) + 6(-A·e -x ) + 13(Ae -x ) = 8·e -x или 8·A·e -x = 8·e -x Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 8A = 8 Откуда, A = 1 Частное решение имеет вид: y * = e -x Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной. Для нахождения производных C'i составляем систему уравнений: C'1·e -3x ·cos(2x)+C'2·e -3x ·sin(2x)=0 C'1(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C'2(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)Выразим C'1 из первого уравнения:C'1 = -c2·sin(2x)/(cos(2x))и подставим во второе. В итоге получаем:C'1 = -4·e 2x ·sin(2x)C'2 = 4·cos(2x)·e 2x Интегрируем полученные функции C'i:C1 = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 1C2 = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 2Записываем полученные выражения в виде:C1 = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * 1e -3x ·cos(2x)C2 = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * 2e -3x ·sin(2x)илиC1 = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * 1e -3x ·cos(2x)C2 = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * 2e -3x ·sin(2x)y = C1 + C2 Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример . y″ + 5y' + 6 = 12cos(2x) Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0 Находим дискриминант: D = 5 2 - 4·1·6 = 1
Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e -2x , y2 = e -3x Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -2x +C2·e -3x Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:c1+c2 = 1 Находим первую производную: y' = -3·c2·e -3·x -2·c1·e -2·x Поскольку y'(0) = -3·c2-2·c2, то получаем второе уравнение:-3·c2-2·c2 = 3В итоге получаем систему из двух уравнений:c1+c2 = 1-3·c2-2·c2 = 3 которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных. c1 = 6, c2 = -5 Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x) Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x) Вычисляем производные: y' = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x) которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y' + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений: -10A + 2B = 02A + 10B = 12 СЛАУ решаем методом Крамера: A = 3 /13;B = 15 /13;Частное решение имеет вид:y * = 3 /13cos(2x) + 15 /13sin(2x) Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 2 . y’’ + y = cos(x) Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 + 1 = 0 D = 0 2 - 4·1·1 = -4
Корни характеристического уравнения: (комплексные корни): r1 = i, r2 = -i Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e 0 x cos(x) = cos(x) y2 = e 0 x sin(x) = sin(x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·cos(x)+C2·sin(x)
Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)
Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы имеет частное решение y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx)) где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x). Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1. Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида: y * = x (Acos(x) + Bsin(x)) Вычисляем производные: y' = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x) y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x) которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x) или 2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 2B = 1 -2A = 0 Следовательно: A = 0; B = 1 /2; Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)