2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985
Ф е д о р ю к м. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения:— 2-е изд., перераб. и доц.—М.: Наука. Главная редакция фи- зико-математической литературы, 1985.— 448 с.
Книга содержит изложение основ теории обыкновенных дифференциальных уравнений, включая теорию устойчивости, и вариационное, исчисление. Значительное место уделено уравнениям с частными производными первого порядка, аналитической теории дифференциальных уравнений и асимптотике решений линейных уравнений второго порядка. В новом издании (первое издание выходило в 1980г.) добавлены методы теории возмущений при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.
Для студентов втузов, а также для инженеров-исследователей. Табл. 1. Ил. 46. Библиогр. 54 назв.
Р е ц е н з е н т
кафедра высшей математики Московского энергетического института (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук профессор С. И. Похожаев).
(Q) Издательство «Наука».
Г л а в а 1. Методы интегрирования
Общие понятия, примеры
2. Дифференциальные уравнения
дифференциальные уравнения. Принцип су-
однородные дифференциальные уравнения
Линейные однородные уравнения
второго порядка с по-
Линейные системы с постоянными коэффициентами.
Г л а в а 2. Основные
решений обыкновенных диф-
1. Основная теорема . . . . . . . . . . .
3. Принцип* сжатых отображений . . .
Доказательство основной теоремы. Теорема существова-
ния и единственности для уравнений
Зависимость решений от параметров и начальных
Обратные и неявные
Г л а в а 3. Линейные уравнения и системы
1. Теорема существования и единственности . . .
2. Функции от матриц и однородные линейные системы с
3. Линейная зависимость и независимость функций и век-
тор-функций. Определитель Вронского
4. Формула Лиувилля
5. Фундаментальные системы решений
6. Неоднородные линейные системы с переменными коэф-
7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифферен-
9. Нули решений однородных линейных уравнений второ-
§ 10. Элементы аналитической теории дифференциальных
уравнений. Уравнение Бесселя
§ 11. Уравнения с периодическими коэффициентами . .
§ 12. Дельта-функция и ее применения
Глава 4. Автономные системы и теория устойчивости .
Автономные системы. Общие свойства
2. Структура решений автономной системы в окрестности
Изменение фазового объема
4. Производная в силу системы. Первые интегралы .
Одномерное движение частицы в потенциальном поле
6. Устойчивость. Функция Ляпунова
Устойчивость положения равновесия линейной системы
Устойчивость по линейному приближению . .
Двумерные автономные системы (элементы качествен-
Глава 5. Уравнения с частными
1. Некоторые задачи, приводящие
рядка с частными производными
Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений
Задача Коши для линейных и квазилинейных
Линейные и нелинейные волны
Г л а в а 6. Элементы вариационного исчисления . . .
Функционалы в линейных нормированных пространст-
Простейшие задачи вариационного исчисления .
Функционалы, зависящие от высших производных
5. Функционалы, зависящие от вектор-функций. Принцип
наименьшего действия в механике
от функций многих
§ 10. Дополнительные сведения извариационного исчисления
Г л а в а 7. Асимптотика решений обыкновенных дифферен-
1. Эвристические соображения
2. Основные оценки
5. Элементы теории возмущений
В настоящей книге изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными первого порядка и вариационного исчисления. Она написана на основе курса лекций, который автор читал в Московском физикотехническом институте на протяжении более пятнадцати лет. Книга рассчитана на студентов высших технических учебных заведений (с объемом курса высшей математики 510 часов) и на инжене- ров-исследователей.
В книге наиболее полно представлены разделы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, связанные с задачами малых колебаний и распространения линейных волн. Последняя глава посвящена асимптотическим методам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. В книгу включены некоторые понятия функционального анализа и ряд необходимых сведений из математического анализа.
В настоящем, втором, издании прежде всего устранен ряд не-
точностей, имевшихся в первом издании. Значительно увеличено число примеров, которые могут служить типовыми для семинарских занятий по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В особенности это относится к § 2 гл. 1 и к § 10 гл. 2, которые фактически написаны заново. Изложены элементы теории эллиптических функций (гл. 4, § 5), приведены решения типа бегущих волн для ряда классических нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными (гл. 5, § 4). В § 5 гл. 7 приведен обзор основных методов построения асимптотики решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Во многих параграфах условия на область определения и дифференциальные свойства рассматриваемых функций сформулированы в начале в виде «предположений» с тем, чтобы сделать формулировки теорем более компактными. При ссылках на параграф из той же главы указывается только его номер.
Я глубоко благодарен А. А. Абрамову, И. А. Бочеку, Е. А. Гребеникову, Ю. В. Егорову, С. П. Коновалову, С. И. Коняеву, С. И. Похожаеву, Н. X. Розову и Н. М. Флайшеру за многочисленные ценные замечания, которые существенно способствовали улучшению рукописи.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Общие понятия, примеры
Обыкновенным дифференциальным уравнением назы* вается уравнение вида
Здесь F — известная
функция, х — независимое
ное, у(х) — неизвестная функция. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции у = у(х), входящей в уравнение. Функция у(х) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения (1), если она п раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале / и при ж е / удовлетворяет уравнению.
П р и м е р 1. Пусть fix) — непрерывная на интервале / =* (а, Ь) функция, у