научная статья по теме АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ Математика

Текст научной статьи на тему «АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 2, с. 141-144

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

Поступило 14.04.2015 г.

Рассмотрена задача Коши для линейного равномерно-параболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, зависящими только от пространственной переменной. Для случая двумерного и трехмерного пространств выписаны асимптотические разложения решения при ? ^ +0. Показывается, как можно использовать полученные разложения для исследования ряда обратных задач об определении коэффициентов параболического уравнения.

Рассмотрим задачу Коши

— - Lu = Ъ(х - y, t), х el д t

Здесь L — линейный эллиптический оператор:

дх,■ V ■ ' дх,-i,j = 1 1 i = 1

в котором А(х) = (а^(х)) — равномерно-положительная матрица. Ниже мы будем предполагать, что все коэффициенты оператора Ь равномерно ограничены, обладают достаточно высокой гладкостью и семейство геодезических римановой

метрики йт = I ^ а1] (х)йх;йху- регулярно в К".

= 1 ) Решение задачи (1) обозначим и(х, у), подчеркивая зависимость его от параметра у.

Сопоставим задаче (1) задачу для гиперболического уравнения

Допустим, что решения задач (1) и (2) возрастают при ? ^ да не быстрее, чем Сеа(, где С > 0 и а — некоторые постоянные. Тогда существуют преобразования Лапласа по переменной ? функций и(х, у) и у(х, у) и их образы Лапласа связаны между собой формулой и (х, р, у) = V (х, , у) для всех комплексных р, вещественная часть которых

Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск

больше а. Поэтому справедлива формула (см., например, [1, с. 220]):

и(х, t, y) = —р-: je 4t v^, z, y)zdz, t > 0. (3) 2 J n t

Воспользуемся формулой (3) для получения асимптотического разложения для и(х, у) при ? ^ +0. Ограничимся для простоты наиболее интересными для приложений случаями " = 3 и " = 2.

При п = 3 для решения задачи (2), в предположениях достаточно высокой гладкости коэффициентов оператора Ь и регулярности геодезических линий, при любом целом неотрицательном к имеет место разложение (см. лемму 2.2.1 в книге [2]):

а- 1(х, y)8(t2- t2(х, y)) +

+ Vk(х, t, y)0n +1(t2 - Т2(х, y))

00 (t) = 0n (t) = -0 (t),

а функция t(x, y) является решением задачи

I а,(х)ТхТх. = 1, т(х, y)

Функции ап(х, у) являются решением задач Коши:

2 X а^2)х + а-! - 6 + X (а^2^^ +

Vk(х^5 + Т2 (х, у), у)0„ + 1(5)

Проводя элементарные вычисления, приходим к равенству

2 X а-(Т )х-(а")х1 + ап 4п - 2 + X (а-(Т )х')х- +

и (х, г, у) = е -_[ ^¿(х, г, у) + wk(х, г, у)], (11)

щ(х, г, у) = X ап(х, у)(4г)п +1,

а остаток к (х, г, у) определен формулой

Они вычисляются по формулам (см. [2, с. 42])

(х, г, у) = |е 4г vк(х,*/5 + т2(х, у), у) 5 , Ж. 1 (п + 1)!

Заметим, что равенство (11) справедливо для всех целых к > —1. Соотношения для (х, г, у) можно получить непосредственно, подставляя представление (11) в равенства (1). Учитывая формулы (5), (6), находим, что (х, г, у) удовлетворяет соотношениям

в которых /(х, у) = ёе1 —- — якобиан преобразова-

(дгЬ) ™к (х, г, у) = Рк (х, г, у), г > 0;

ния римановых координат ^ точки х в декартовы,

у) - геодезическая линия, соединяющая точ- причем функция Шк(х, г, у) определена формулой

ки х и у, Ъ — переменная точка на этой геодезической, т1 = т(Ъ, у), Ц = (щ Ц2, Ц3) — вектор, компо ненты которого вычисляются по формулам

Рк(х, г, у) = -Ь(ак(х, у))(4г)

Теорема 1. Если а ¡Ах) е Ст + 2(К3), Ь(х)

я(х) = X —х)а1 (х), ' = 1, 2, 3.

Здесь аИ(х) — элементы матрицы А—1(х), обратной к матрице А(х) = (а^(х)). Заметим, что римановы координаты ^(х, у) точки х относительно фикси

е Ст + ЧК3), с(х) е Ст(К3) и т > 4 + 2к, к > -1, то (9) при условии регулярности геодезических Г(х, у) имеет место представление (11), в котором функция ^к(х, I, у) определена равенством (12), а остаток

(х, г) = 0(1к+2) при г ^ +0.

Действительно, в условиях этой теоремы, т2(х,

рованной точки у вычисляются через т(х, у) по у) е С

X К3), а-1(х, у) е Ст(^3 х К3), а,(х, у) е

Подставляя представление (4) в (3), получим формулу

е ст 2 2п(К3 х К3). Следовательно, функция Ь(ак(х, у)) е Ст — 4—2к(К3 х К3). Из (13), (14) тогда следует, что

Поэтому wk (х, г) = 0(гк+2) при г ^ +0.

При п = 2 для решения задачи (2) имеет место асимптотическое разложение (см. лемму 2.2.2 в [2]):

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

v(x, t, y) = 0О(t) ^ y)%„ +1/2(t -Т (х, y))

+ Vк(X, г, у)вп + 3/2(Т2(х, У)) , (15)

в котором коэффициенты ап(х, у) определены формулами (7), (8), а функции 0п + 1/2(?) задаются равенствами

1 2 п + 1 гп + 1/2

Здесь (2п + 1)!! = 1 ■ 3 ■ 5 ■ . ■ (2п + 1).

В этом случае формула (3) приводит к равенству

Iе 4t X аn(х, y)0n +1/2(S) +

Vk(X, aJs + Т2(х, y), y)0n + 3/2(S)]ds, t > 0.

Это равенство можно представить в виде, аналогичном (11):

[Wk(x, t, y) + Wk(X, t, y)], (16)

лы, выражающие т(х, у), а-1(х, у), а0(х, у) для (х, у) е (дО х дО.) через заданную функцию.

Из формул (11), (16) находим, что для п = 3 и п = 2 справедливо равенство

т(х, y) = ( lim (-41lnu(x, t, y))

При известной функции т(х, у) коэффициенты а-1(х, у), а0(х, у) находятся при п = 3 по формулам

а-1 (х, y) = lim 4u(х, t, y)e 4' Jnt3

(х, y) e (дОхдО), а0( х, y) =

Wk(х, г, у) = £ ап(х, у)(4г)п +1. (17)

Функция йк (х, г, у) удовлетворяет соотношениям (13), (14). Поэтому при п = 2 имеет место теорема, аналогичная теореме для трехмерного пространства.

Теорема 2. Если ау(х) е Cffl + 2(К2), Ъ(х) е е Cffl + 1(К2), с(х) е ^(К2) и т > 4 + 2к, к > -1, то при условии регулярности геодезических Г(х, у) имеет место представление (16), в котором функция м>к(х, г, у) определена равенстом (17), а остаток йк (х, о = 0(гк+2) при г ^ +0.

Полученные выше формулы позволяют перекинуть мостик между рядом постановок обратных задач для параболических уравнений и аналогичными ранее изученными постановками обратных задач для гиперболических уравнений. Для демонстрации сказанного получим вначале некоторые соотношения между решениями задачи (1) и коэффициентами разложений (11), (16). Пусть О с Кп, п = 2, 3, — некоторая компактная область с гладкой границей дО. Пусть далее для некоторого Т > 0 решение и(х, г, у) задачи (1) известно для всех (х, г, у) е 0(0, Т), 0(0, Т) = . Приведем форму-

а при n = 2 по формулам

а-1 (х, y) = lim 2u(х, t, y)e 4t t

(х, y) e (дОхдО), а0(х, y) =

2u(х, t, y)e 4t t-а-1 (х, y) 4t

Формулы (18)—(22) можно использовать для задач определения коэффициентов оператора Ь внутри О по решению задачи (1), заданному для (х, г, у) е 0(О, Т).

Пусть а у = а2(х)Ъу, где Ъу — символ Кронекера, и требуется найти а(х) в О. Тогда вычисляя по формуле (18) функцию т(х, у), приходим к обратной кинематической задаче: найти а(х) в О по заданной функции т(х, у) для (х, у) е (дО х дО). Эта задача исследована в работах [3—9], в которых получены теоремы единственности и устойчивости ее решения.

Пусть коэффициенты ау(х) заданы, требуется найти внутри О вектор Ъ(х) = (Ъ1(х), Ъ2(х), Ъ3(х)) по заданной функции а—1(х, у) для (х, у) е (дО х дО). В этом случае функция т(х, у) известна, поэтому известны римановы координаты ^(х, у) точки х, якобиан /(х, у) перехода от римановых координат к декартовым и геодезические линии Г(х, у). Используя формулу (7), получаем равенство

Г я(Ъ) ■ dЪ = -21п(а-1 (х, у)22П^Р),

в котором правая часть известна, а вектор-функция ц(х) определена формулой (9). Возникающая задача интегральной геометрии об определении формы первого порядка ц(х) • ¿х по известным от нее интегралам вдоль геодезических Г(х, у) исследована в работе [10]. В ней установлено, что из уравнения (23) однозначно восстанавливается внутри О функция У х Ц.

Пусть коэффициенты а^(х), Ь(х) заданы, требуется найти с(х) по заданной функции а0(х, у) для (х, у) е (дО х дО). Полагая в формуле (8) п = 0, приходим к соотношению

| с(Ъ)= Е(х, у), (х, у) е (дО х дО), (24)

в котором g(x, у) — заданная функция, вычисляемая по формуле

- | а- 1(Ъ, у У 1ь'(а-1(Ъ у)) ¿Т1.

При этом Ь' = Ь — с(х). Задача интегральной геометрии об определении с(х) в О по заданной функции g(x) изучена в работах [2, 4—9, 11]. В этих работах получены оценки устойчивости ее решения.

Таким образом, из полученных выше разложений (11), (16) для решения задачи (1) непосредственно вытекает целый ряд новых результатов об

единственности и устойчивости решения ряда обратных задач для параб

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎