Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кожевникова Лариса Михайловна, Леонтьев Алексей Александрович

Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью , представителем которого является модельное уравнение вида $(|u|^u)_t=\sum_^n(|u_|^u_)_,\quad p_n\geq \ldots \geq p_1>k,\quad k\in(1,2).$ Для решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях $D=(0,\infty)\times\Omega,\;$ $\Omega\subset \mathbb_n,\;n\geq 2,$ с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлены точные оценки скорости убывания при $t\rightarrow\infty$. Ранее такие результаты были получены авторами для $k\geq 2$. Случай $k\in(1,2)$ отличается способом построения галеркинских приближений, который для модельного изотропного уравнения был предложен Э.Р. Андрияновой, Ф.Х. Мукминовым.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кожевникова Лариса Михайловна, Леонтьев Алексей Александрович

Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains

This work is devoted to a class of parabolic equations with double nonlinearity whose representative is a model equation $(|u|^u)_t=\sum_^n(|u_|^u_)_,\quad p_n\geq \ldots \geq p_1>k,\quad k\in(1,2).$. For the solution of the first mixed problem in a cylindrical domain $D=(0,\infty)\times\Omega,\;$ $\Omega\subset \mathbb_n,\;n\geq 2,$ with homogeneous Dirichlet boundary condition and compactly supported initial function precise estimates the rate of decay as $t\rightarrow\infty$ are established. Earlier these results were obtained by the authors for $k\geq 2$ The case $k\in(1,2)$ differs by the method of constructing Galerkin’s approximations that for an isotropic model equation was proposed by E.R. Andriyanova and F.Kh. Mukminov.

Текст научной работы на тему «Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 63-82.

УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ

Аннотация. Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида

(|и|к 2 у)г = |Ра 2иХа )Ха, Рп > . > Р1 > к, к е (1,2).

Для решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях В = (0, то) х П,

П С Мп, п > 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлены точные оценки скорости убывания при £ ^ то. Ранее такие результаты были получены авторами для к > 2. Случай к е (1, 2) отличается способом построения галеркинских приближений, который для модельного изотропного уравнения был предложен Э.Р. Андрияновой, Ф.Х. Мукминовым.

Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.

Пусть О — неограниченная область пространства Мп = , п > 2. В цилиндрической области Д = х О для анизотропного квазилинейного параболического уравнения второго порядка рассматривается первая смешанная задача

(|u|k 2u)t = Ка)xa, k G (1, 2), (i, х) е D;

и(0, х) = <^(х), <^(х) е Ьк(О), ^ха(х) е ЬРа(О), а =1,п. (3)

Предполагается, что неотрицательные функции аа(в), в > 0, а =1,п, подчиняются условиям: аа(0) = 0, аа(в) е С 1(0, то),

ав(Ра- 2)/2 ^ аа(в) ^ ав(Ра- 2)/2, (4)

р1 аа(в) ^ аа(в) + а'а(в)8 ^ Ьаа(в), (5)

с положительными константами а > а, 26 > р1 > к (р1 ^ р2 ^ . ^ рп). Например, аа(в) = в(Ра-2)/2, а = 1, п, 6 = рп/2.

Работа посвящена изучению скорости стабилизации при Ь ^ то решения задачи (1)-(3) с финитной начальной функцией <^(х).

L.M. Kozhevnikova, A.A. Leontiev, Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains.

© Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00440-а).

Поступила 23 декабря 2011 г.

Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t ^ то посвящены работы А.К. Гущина, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, А.Ф. Тедеева, Л.М. Кожевниковой, Р.Х. Каримова и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1], [2], [3].

В изотропном случае, т.е. когда все ра равны между собой и равны p, p > 2, при к = 2 задача (1)-(3) исследовалась в работе [3]. Оценки скорости убывания решения задачи Коши для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным p-лапласианом и двойной нелинейностью при к G (1, 2) установлены в работе С.П. Дегтярева, А.Ф. Тедеева

Вопросы существования и единственности решения изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью рассматривались в работах P.A. Raviart, Ж.Л. Лионса, A. Bamberger, O. Grange, F. Mignot, H.W. Alt, S. Luckhaus, F. Bernis и других. Однако для получения оценки снизу убывания решения при t ^ то нужна его дополнительная гладкость.

Ф.Х. Мукминов, Э.Р. Андриянова [5] предложили обычный способ построения сильного решения для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью сразу в неограниченной области на основе галеркинских приближений, которые в случае к G (1, 2) и к > 2 строятся различными способами. В работе [6] этот метод адаптирован на некоторый класс анизотропных параболических уравнений вида (1) при к > 2, и на основе галеркинских приближений получена оценка допустимой скорости убывания решения в неограниченной области. Настоящая работа является продолжением работы [6] для случая к G (1, 2).

Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, s G 1,n (область Q лежит в полупространстве R+ [s] = , сечение Yr = не пусто и ограничено при любом r > 0). Ниже будет использовано обозначение: Qba = , при этом значения a = 0, b = то опускаются.

Предполагается, что начальная функция ограничена и имеет ограниченный носитель так, что

supp С QRo , R0 > 0. (6)

Теорема 1. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в е 1,п и выполнено условие (6). Тогда найдутся положительные числа к(р3,к), М(р3,к) и ограниченное решение и(Ь, х) задачи (1)-(3) такие, что при всех Ь > 0, г > 2Я0 справедлива оценка

На основе неравенства (7) устанавливается оценка снизу убывания решения задачи (1)-(3) при Ь ^ то.

Допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при к = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым [7] для первой смешанной задачи и N. АНкакоэ, И,. Иоэ^ашап [8] для задачи Коши.

Теорема 2. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в Є 1,п и выполнено условие (6). Тогда существует положительное число С,к,р1, а, Ь) и ограниченное решение

п(Ь, х) задачи (1)-(3) такие, что при всех Ї > 0 справедливо неравенство

^І(г) = іп^ЛдХ1 ||Ьр1 (П> д(х) Є ЦдЦь^п) = ^ , Г> °. (9)

Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие

Показано, что если это условие не выполнено, то достигается максимальная скорость убывания решения, т.е. справедлива оценка

1Ж1к(П) ^ МГ1/(р1 -к), г> 0, (11)

(см. [6, следствие 2]).

Будем считать, что область П удовлетворяет условию

J иР1/Ре (т)(!т = то. (13)

Пусть т(г) — произвольная положительная функция, удовлетворяющая неравенству

К/ vPl/Ps (р)^Р I > 1, £> 0. (14)

Существование такой функции следует из (10). Кроме того, из (14), (10) следует, что

Теорема 3. Пусть область расположена вдоль оси 0х3, в € 2,п и выполнены условия (6), (10), (13). Тогда найдется положительное число М(р^рь 1Мкк(П)) и ограниченное решение и(г, х) задачи (1)-(3) такие, что справедлива оценка

ИиС01к(п) ^ М (^р1 (тС0))-1/(Р1-к), г > 0. (15)

Если выполнены условия:

Иш [ vpl/ps (р)(1р = то,

то можно положить

т(г) = г£/(аР1), г> 0, е € (0,1), (16)

и оценка (15) принимает вид

Выбор функции т(г) формулой (16) является удовлетворительным, поскольку оценка (17) имеет показатель степени близкий к показателю 1/(р1 — к) оценки снизу (8). Другие примеры для областей вращения приведены в работе [6].

2. Вспомогательные утверждения

Пусть || • ||Р,д — норма в Ьр^), р > 1, (•, -)д — скалярное произведение в Ь2(^), причем

значения р =2, Q = П опускаются. Через Въа = (а, Ь) х П обозначим цилиндр, значения

а = 0 и Ь = то могут отсутствовать.

Банахово пространство Щ кр(П) определим как пополнение пространства СЮ(П) по норме

\М\^к11(П) = ^ Иих„ \\ра + ||и \ к.

Банаховы пространства IV к’ р(^т), IV к’р(^т) определим как пополнения пространства с^(пТ+1), соответственно, по нормам

Мкк ’1 (Дт) — \\и\\к’Дт + / у \\их01 \\ра’Дт ,

\\и\\ш\' 1 (ДТ ) — \\и\\к ’ ДТ + \\щ\\к ’ пт + ^ \\иха \\ра ’ Дт .

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(3) назовем функцию и(^х) та° 0 1

кую, что при всех Т > 0 и(£, х) € Vкр(^т) и удовлетворяет интегральному тождеству

( 1-\и\к 2иьг + ^ аа(и2ха)иха^ ) dxdt — [\^(х)\к 2р(х)у(0, x)dx, (18)

для любой функции у(1, х) к р(^ ), ъ(Т, х) — 0.

Из условий (5) следуют неравенства

(р1 — 1)аа(в) ^ аа(в) + 2о1а(в)8 ^ саа(в), с — 2Ь — 1, в > 0, а — 1,п, (19)

которые можно переписать в виде

0 ^ (аа(г2)г)' ^ саа(г2), г € К, а — 1,п. (20)

Положим Аа(в) — / аа(т)dт, тогда, пользуясь условиями (5), выводим неравенства

р-Аа(в) ^ аа(в)в ^ ЪАа(в), в > 0, а —1,п. (21)

Лемма 1. Любое ограниченное множество рефлексивного банахова пространства слабо компактно (см. [9, гл. V, §19.7, теорема 1]).

Замечание 1. Пространства Vк р(П), V к р(^т) являются рефлексивными сепарабельными банаховыми пространствами (см. [6, замечание 1]).

Замечание 2. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в 'рассуждениях, вместо утверждения типа "из последовательности им можно выделить подпоследовательность им, сходящуюся в Ь2(П) при I ^ то ", будем говорить просто "последовательность им выборочно сходится в Ь2(П) при М ^ то ". Соответственно, будем использовать термин "выборочно слабо сходится" и т.п.

Лемма 2. Пусть дм(^ х), М — 1, то, д(^ х) — такие функции из Ьр(5), 1 < р < то, что

\\дм М ^ С, дм ^ д при М ^ то почтил всюду в 5, тогда дм ^ д при М ^ то слабо в Ьр((5) (см. [10, гл. I, §1.4, лемма 1.3]).

Замечание 3. Лемма 2 сформулирована в [10] для ограниченной области 5, однако она справедлива и для произвольной неограниченной области. Будем применять лемму 2 для 5 — П и для 5 — (0,Т) х П.

Лемма 3. Пусть система функций фг(х) € С£°(П), I — 1, то, линейно независима, и

её линейная оболочка является всюду плотным множеством в пространстве Vк р(П).

Через Рь обозначим совокупность функций ^ di(t)фi(x), где di(t) € СО[0,Т]. Тогда мно-

жество Р — Рь плотно в пространстве IVк’р(^т).

Доказательство. Покажем плотность множества Р в пространстве СО (^т+1). Пусть

у^, х) € СО(ВТ_+1), очевидно у^, х) € С([—1,Т + 1] ^ IVк Р(П)). Выберем произвольное £ и зафиксируем 8, такое что для любых t,t* € [— 1, Т + 1], таких что ^ — ^ \ < 28 будет справедливо

Выберем конечную последовательность точек tj, ] — 1,^, такую что

(—1, Т + 1) — и (^' — 8, tj + 8) и разбиение единицы j=l

Е wj(t) — 1 wj(t) € C0OO((tj — 8, tj + 8)) 0 ^ wj(t) ^ 1 j=1

Из определения системы функций (x) следует, что для каждого j, j = 1,N, найдется

номер Lj(е) и числа fjk такие, что

\\v(tj, x) - E fjkA(x)IW (п) <е, j = 1,N (23)

Покажем, что функции ^ Wj(t)fjkфк(x) = Yl J2w.(t)fjk) фк(x), L = max Lj,

j=1 k=1 k=1 у=1 J j=1, N

fjk = 0, k > Lj, приближают функцию v(t, x) в норме пространства Wk p(^) равномерно