Распределение Стьюдента (t-распределение). Распределения математической статистики в EXCEL

Распределение Стьюдента (t-распределение). Распределения математической статистики в EXCEL

Рассмотрим Распределение Стьюдента (t-распределение). С помощью функции MS EXCEL СТЬЮДЕНТ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

Распределение Стьюдента (также называется t -распределением ) применяется в различных методах математической статистики:

  • при построении доверительных интервалов для среднего (используется функция ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ() );
  • для оценки различия двух выборочных средних (используется функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ() );
  • при проверке гипотез (выборка небольшого размера, стандартное отклонение не известно) ,
  • в линейном регрессионном анализе (при проверке гипотез на значимость отдельных регрессионных коэффициентов).

Определение : Если случайная величина Z распределена по стандартному нормальному закону N(0;1) и случайная величина U имеет распределение ХИ-квадрат с ν степенями свободы, то случайная величина T=Z/√(U/v) имеет t-распределение .

при −∞ файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

График плотности распределения Стьюдента , как и стандартного нормального распределения , является симметричным и колоколообразным, но с более тяжелыми хвостами.

Ниже для сравнения приведены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента.

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

t-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для t-распределения имеется функция СТЬЮДЕНТ.РАСП() , английское название - T.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина Х, имеющая распределение Стьюдента , примет значение меньше или равное х, P(X файле примера на листе Функции приведены основные функции MS EXCEL, связанные с этим распределением.

Кроме этой функции в MS EXCEL имеется еще довольно много других функций, относящихся к данному распределению, но по большому счету их функционал покрывается функцией СТЬЮДЕНТ.РАСП() .

Кроме того, СТЬЮДЕНТ.РАСП() является единственной функцией, которая возвращает плотность вероятности (третий аргумент должен быть равным ЛОЖЬ). Остальные функции возвращают интегральную функцию распределения , т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из указанного диапазона: P(X x) или даже P(|X| > x).

Очевидно, что справедливо равенство

=СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(x;n)+СТЬЮДЕНТ.РАСП(x;n;ИСТИНА)=1 т.к. первое слагаемое вычисляет вероятность P(X > x), а второе P(X СТЬЮДРАСП() , которая позволяет вычислить функцию распределения (точнее - правостороннюю вероятность, т.е. P(X>x)) и объединяет возможности нескольких новых функций MS EXCEL 2010: СТЬЮДЕНТ.РАСП(x; n; ЛОЖЬ) , СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() , СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х() . Функция СТЬЮДРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

  • Если значение аргумента «хвосты» = 1, функция СТЬЮДРАСП() вычисляет правостороннюю вероятность P(X > x), где X — случайная переменная, соответствующая t-распределению. Под термином «хвост» подразумевается «хвост» распределения, в данном случае правый. На графике плотности вероятности этому «хвосту» будет соответствовать площадь фигуры под графиком (выделена синим), которая ограничена слева вертикальной линией X = x.
  • Если значение аргумента "хвосты" = 2, функция СТЬЮДРАСП() вычисляет вероятность P(|X| > x) или другими словами P(X > x или X =СТЬЮДРАСП(x;n;2) эквивалентна =СТЬЮДРАСП(x;n;1)*2
  • Функцией СТЬЮДРАСП() значения x СТЬЮДРАСП(-x;n;1) . Чтобы вычислить вероятность P(X =ЕСЛИ(x>0;СТЬЮДРАСП(x;n;1);1-СТЬЮДРАСП(-x;n;1)) .

Примеры

Аналогичные вычисления для P(X > x) и P(|X| > x) приведены в файле примера на листе Функции , в том числе и для x СТЬЮДЕНТ.ОБР() используется для вычисления как двухсторонних, так и односторонних доверительных интервалов . А функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х() и СТЬЮДРАСПОБР() созданы специально для вычисления квантилей , необходимых для расчета двусторонних доверительных интервалов: в качестве аргумента нужно указывать уровень значимости альфа , а не альфа/2 , как для СТЬЮДЕНТ.ОБР() .

Вышеуказанные функции можно взаимозаменять, т.к. нижеуказанные формулы возвращают одинаковый результат: =СТЬЮДЕНТ.ОБР(альфа;n) =-СТЬЮДРАСПОБР(альфа*2;n) =-СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(альфа*2;n)

Некоторые примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .

Примечание : Ниже приведено соответствие русских и английских названий функций: СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ() - англ. название T.DIST.RT, т.е. T-DISTribution Right Tail, the right-tailed Student's t-distribution СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х() - англ. название T.DIST.2T, т.е. T-DISTribution 2 Tails СТЬЮДЕНТ.ОБР() - англ. название T.INV, т.е. T-distribution INVerse СТЬЮДРАСП() - англ. название TDIST, т.е. T-DISTribution СТЬЮДРАСПОБР() - англ. название TINV, т.е. T-distribution INVerse (the right-tailed inverse of the Student's t-distribution) СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х() - англ. название T.INV.2T

Функции MS EXCEL, использующие t-распределение

Как было сказано выше, при построении доверительных интервалов используется функция ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ() - англ. название CONFIDENCE.T.

Например, формула =ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;СТАНДОТКЛОН.В(B20:B79); СЧЁТ(B20:B79)) эквивалентна классической формуле для вычисления доверительного интервала =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-альфа/2; СЧЁТ(B20:B79)-1)* СТАНДОТКЛОН.В(B20:B79)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))

где предполагается, что выборка находится в диапазоне B20:B79 .

Как видим, особых преимуществ в использовании ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ() нет.

Другая функция - СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ() - англ. название T.TEST, используется для оценки различия двух выборочных средних .

Оценка параметров распределения

Т.к. обычно t-распределение используется для целей математической статистики (вычисление доверительных интервалов, проверки гипотез и др.), и практически никогда для построения моделей реальных величин, то для этого распределения обсуждение оценки параметров распределения здесь не производится.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎